Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , xét các điểm $A\left( 0;0;1...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, xét các điểm

A (0; 0; 1), B (m; 0; 0), C (0; n; 0), D (1; 1; 1)

với

m > 0, n > 0

và

m + n = 1

. Biết rằng khi

m, n

thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng

(A B C)

và đi qua

D

. Tính bán kính

R

của mặt cầu đó.
A.

R = 1

B.

R = \frac{\sqrt{2}}{2}

C.

R = \frac{\sqrt{3}}{2}

D.

R = \frac{3}{2}

Phương trình mặt phẳng

(A B C)

theo đoạn chắn là

\frac{x}{m} + \frac{y}{n} + z = 1

. Gọi

P (x_{0}; y_{0}; z_{0})

.
Ta có:

d = d (P, (A B C)) = \frac{| \frac{x_{0}}{m} + \frac{y_{0}}{n} + z_{0} - 1 |}{\sqrt{\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + 1}}

.
Lại có:

\frac{1}{m^{2}} + \frac{1}{n^{2}} + 1 = {(\frac{1}{m} + \frac{1}{n})}^{2} - \frac{2}{m n} + 1 = {(\frac{m + n}{m n})}^{2} - \frac{2}{m n} + 1 = {(\frac{1}{m n})}^{2} - \frac{2}{m n} + 1 = {(\frac{1}{m n} - 1)}^{2} \Rightarrow d = \frac{| \frac{x_{0}}{m} + \frac{y_{0}}{n} + z_{0} - 1 |}{| \frac{1}{m n} - 1 |}

.
Ta chọn

{\begin{aligned} x_{0} = 1 \\ y_{0} = 1 \\ z_{0} = 0 \end{aligned} \Rightarrow d = \frac{| \frac{m + n}{m n} - 1 |}{| \frac{1}{m n} - 1 |} = 1 = P D

với mọi

m > 0, n > 0

.
Do đó mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng

(A B C)

và đi qua

D

có tâm

P_{0} (1; 1; 0)

bán kính

R = 1

.

Đáp án A.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm $A\left( 0;0;1...