Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, xét các điểm $A\left( 0;0;1 \right),B\left( m;0;0 \right),C\left( 0;n;0 \right),D\left( 1;1;1 \right)$ với $m>0,n>0$ và $m+n=1$. Biết rằng khi $m,n$ thay đổi, tồn tại một mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và đi qua $D$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu đó.
A. $R=1$
B. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $R=\dfrac{3}{2}$
A. $R=1$
B. $R=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C. $R=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D. $R=\dfrac{3}{2}$
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right)$ theo đoạn chắn là $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{n}+z=1$. Gọi $P\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$.
Ta có: $d=d\left( P,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| \dfrac{{{x}_{0}}}{m}+\dfrac{{{y}_{0}}}{n}+{{z}_{0}}-1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+1}}$.
Lại có:
$\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+1={{\left( \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n} \right)}^{2}}-\dfrac{2}{mn}+1={{\left( \dfrac{m+n}{mn} \right)}^{2}}-\dfrac{2}{mn}+1={{\left( \dfrac{1}{mn} \right)}^{2}}-\dfrac{2}{mn}+1={{\left( \dfrac{1}{mn}-1 \right)}^{2}}\Rightarrow d=\dfrac{\left| \dfrac{{{x}_{0}}}{m}+\dfrac{{{y}_{0}}}{n}+{{z}_{0}}-1 \right|}{\left| \dfrac{1}{mn}-1 \right|}$.
Ta chọn $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1 \\
& {{y}_{0}}=1 \\
& {{z}_{0}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d=\dfrac{\left| \dfrac{m+n}{mn}-1 \right|}{\left| \dfrac{1}{mn}-1 \right|}=1=PD $ với mọi $ m>0,n>0$.
Do đó mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và đi qua $D$ có tâm ${{P}_{0}}\left( 1;1;0 \right)$ bán kính $R=1$.
Ta có: $d=d\left( P,\left( ABC \right) \right)=\dfrac{\left| \dfrac{{{x}_{0}}}{m}+\dfrac{{{y}_{0}}}{n}+{{z}_{0}}-1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+1}}$.
Lại có:
$\dfrac{1}{{{m}^{2}}}+\dfrac{1}{{{n}^{2}}}+1={{\left( \dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n} \right)}^{2}}-\dfrac{2}{mn}+1={{\left( \dfrac{m+n}{mn} \right)}^{2}}-\dfrac{2}{mn}+1={{\left( \dfrac{1}{mn} \right)}^{2}}-\dfrac{2}{mn}+1={{\left( \dfrac{1}{mn}-1 \right)}^{2}}\Rightarrow d=\dfrac{\left| \dfrac{{{x}_{0}}}{m}+\dfrac{{{y}_{0}}}{n}+{{z}_{0}}-1 \right|}{\left| \dfrac{1}{mn}-1 \right|}$.
Ta chọn $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=1 \\
& {{y}_{0}}=1 \\
& {{z}_{0}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d=\dfrac{\left| \dfrac{m+n}{mn}-1 \right|}{\left| \dfrac{1}{mn}-1 \right|}=1=PD $ với mọi $ m>0,n>0$.
Do đó mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ và đi qua $D$ có tâm ${{P}_{0}}\left( 1;1;0 \right)$ bán kính $R=1$.
Đáp án A.