Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ ${Oxyz}$, viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và $B\left( 0;2;2 \right)$ đồng thời cắt các tia $Ox$, $Oy$ lần lượt tại hai điểm $M,N$ (không trùng với gốc tọa độ $O$ ) sao cho $OM=2ON$
A. $\left( P \right):3x+y+2z-6=0$
B. $\left( P \right):2x+3y-z-4=0$
C. $\left( P \right):2x+y+z-4=0$
D. $\left( P \right):x+2y-z-2=0$
A. $\left( P \right):3x+y+2z-6=0$
B. $\left( P \right):2x+3y-z-4=0$
C. $\left( P \right):2x+y+z-4=0$
D. $\left( P \right):x+2y-z-2=0$
Cách 1.
Giả sử $\left( P \right)$ đi qua 3 điểm $M\left( a;0;0 \right)$, $N\left( 0;b;0 \right)$, $P\left( 0;0;c \right)$
Suy ra $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Mà $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và $B\left( 0;2;2 \right)$ nên ta có hệ ${\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1 \\
& \dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& \dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.}$
Theo giả thuyết ta có $OM=2ON\Leftrightarrow \left| a \right|=2\left| b \right|\Leftrightarrow \left| b \right|=1$
TH1. $b=1$ $\Rightarrow c=-2$ suy ra $\left( P \right):x+2y-z-2=0$
TH1. $b=-1$ $\Rightarrow c=-\dfrac{2}{3}$ suy ra $\left( P \right):x-2y+3z-2=0$
Cách 2. Thử đáp án bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng với Ox, Oy…
Giả sử $\left( P \right)$ đi qua 3 điểm $M\left( a;0;0 \right)$, $N\left( 0;b;0 \right)$, $P\left( 0;0;c \right)$
Suy ra $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$
Mà $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và $B\left( 0;2;2 \right)$ nên ta có hệ ${\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1 \\
& \dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=2 \\
& \dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.}$
Theo giả thuyết ta có $OM=2ON\Leftrightarrow \left| a \right|=2\left| b \right|\Leftrightarrow \left| b \right|=1$
TH1. $b=1$ $\Rightarrow c=-2$ suy ra $\left( P \right):x+2y-z-2=0$
TH1. $b=-1$ $\Rightarrow c=-\dfrac{2}{3}$ suy ra $\left( P \right):x-2y+3z-2=0$
Cách 2. Thử đáp án bằng cách tìm giao điểm của đường thẳng với Ox, Oy…
Đáp án D.