Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng $d:\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z+4}{-5}$ và ${d}':\dfrac{x+1}{3}=\dfrac{y-4}{-2}=\dfrac{z-4}{-1}$.
A. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$
B. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$
C. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2}$
D. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
A. $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$
B. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{4}$
C. $\dfrac{x-2}{2}=\dfrac{y+2}{2}=\dfrac{z-3}{2}$
D. $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-2}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$
Gọi $M\left( 2+2m;3+3m;-4-5m \right)\in \text{d};\text{ N}\left( -1+3n;4-2n;4-n \right)\in \text{{d}'}$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( -3+3n-2m;1-2n-3m;8-n+5m \right)$.
Mà do MN là đường vuông góc chung của d và ${d}'$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& MN\bot d \\
& MN\bot {d}' \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( -3+3n-2m \right)+3\left( 1-2n-3m \right)-5\left( 8-n+5m \right)=0 \\
& 3\left( -3+3n-2m \right)-2\left( 1-2n-3m \right)-1\left( 8-n+5m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -38m+5n=43 \\
& -5m+14n=19 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& n=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $M\left( 0;0;1 \right),N\left( 2;2;3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( 2;2;2 \right)$ nên đường vuông góc chung MN là: $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( -3+3n-2m;1-2n-3m;8-n+5m \right)$.
Mà do MN là đường vuông góc chung của d và ${d}'$ nên $\left\{ \begin{aligned}
& MN\bot d \\
& MN\bot {d}' \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2\left( -3+3n-2m \right)+3\left( 1-2n-3m \right)-5\left( 8-n+5m \right)=0 \\
& 3\left( -3+3n-2m \right)-2\left( 1-2n-3m \right)-1\left( 8-n+5m \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -38m+5n=43 \\
& -5m+14n=19 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=-1 \\
& n=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Suy ra $M\left( 0;0;1 \right),N\left( 2;2;3 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{MN}=\left( 2;2;2 \right)$ nên đường vuông góc chung MN là: $\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}$.
Đáp án A.