Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=75$ và mặt phẳng $\left( P \right):\left( {{m}^{2}}+2m \right)x-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right)y+2\left( 3m-1 \right)z+{{m}^{2}}+1=0$. $A$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$. Khi khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$ đạt giá trị lớn nhất thì khối nón có đỉnh là $A$, đường tròn đáy là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ có thể tích bằng bao nhiêu?
A. $128\pi \sqrt{3}$.
B. $75\pi \sqrt{3}$.
C. $32\pi \sqrt{3}$.
D. $64\pi \sqrt{3}$.
A. $128\pi \sqrt{3}$.
B. $75\pi \sqrt{3}$.
C. $32\pi \sqrt{3}$.
D. $64\pi \sqrt{3}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 3;-2;1 \right)$ ; có bán kính $R=5\sqrt{3}$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn đi quA. Ta có
$\left( {{m}^{2}}+2m \right){{x}_{0}}-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right){{y}_{0}}+2(3m-1){{z}_{0}}+{{m}^{2}}+1=0 \forall m$
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{0}}-{{y}_{0}}+1 \right){{m}^{2}}+\left( 2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}+6{{z}_{0}} \right)m+{{y}_{0}}-2{{z}_{0}}+1=0 \forall m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}-{{y}_{0}}+1=0 \\
2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}+6{{z}_{0}} \\
{{y}_{0}}-2{{z}_{0}}+1=0 \\
\end{array}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}=-2 \\
{{y}_{0}}=-1\Rightarrow M(-2;-1;0) \\
{{z}_{0}}=0 \\
\end{array} \right. \right.$.
Ta có $IM=3\sqrt{3}<R$ nên $M$ nằm trong mặt cầu. Do đó $\left( P \right)$ luôn cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn.
Ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)\le R+d\left( I,\left( P \right) \right)\le R+IM=5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.
Trong trường hợp này đường tròn đáy là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ có bán kình $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{M}^{2}}}=4\sqrt{3}$.
Khi đó ${{V}_{N}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=128\pi \sqrt{3}$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)$ là điểm cố định mà mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn đi quA. Ta có
$\left( {{m}^{2}}+2m \right){{x}_{0}}-\left( {{m}^{2}}+4m-1 \right){{y}_{0}}+2(3m-1){{z}_{0}}+{{m}^{2}}+1=0 \forall m$
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{0}}-{{y}_{0}}+1 \right){{m}^{2}}+\left( 2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}+6{{z}_{0}} \right)m+{{y}_{0}}-2{{z}_{0}}+1=0 \forall m$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}-{{y}_{0}}+1=0 \\
2{{x}_{0}}-4{{y}_{0}}+6{{z}_{0}} \\
{{y}_{0}}-2{{z}_{0}}+1=0 \\
\end{array}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
{{x}_{0}}=-2 \\
{{y}_{0}}=-1\Rightarrow M(-2;-1;0) \\
{{z}_{0}}=0 \\
\end{array} \right. \right.$.
Ta có $IM=3\sqrt{3}<R$ nên $M$ nằm trong mặt cầu. Do đó $\left( P \right)$ luôn cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn.
Ta có $d\left( A,\left( P \right) \right)\le R+d\left( I,\left( P \right) \right)\le R+IM=5\sqrt{3}+3\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.
Trong trường hợp này đường tròn đáy là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( S \right)$ có bán kình $r=\sqrt{{{R}^{2}}-I{{M}^{2}}}=4\sqrt{3}$.
Khi đó ${{V}_{N}}=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=128\pi \sqrt{3}$.
Đáp án A.