Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M\left( 4;1;1 \right)$, cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho biểu thức $OA+OB+OC$ đạt giá trị nhỏ nhất. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $\left( 2;0;2 \right)$
B. $\left( 2;2;0 \right)$
C. $\left( 2;1;1 \right)$
D. $\left( 0;2;2 \right)$
A. $\left( 2;0;2 \right)$
B. $\left( 2;2;0 \right)$
C. $\left( 2;1;1 \right)$
D. $\left( 0;2;2 \right)$
Gọi $A\left( a;0;0 \right),B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)\Rightarrow $ Phương trình mặt phẳng $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Điểm $M\in \left( P \right)$ suy ra $\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$. Ta có $OA+OB+OC=a+b+c$
Lại có $1=\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{{{\left( 2+1+1 \right)}^{2}}}{a+b+c}\Leftrightarrow a+b+c\ge 16$. Do đó ${{\left\{ OA+OB+OC \right\}}_{\min }}=16$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& a+b+c=16 \\
& \dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=8; b=c=4 $. Vậy $ \left( P \right):\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{4}=1$.
Điểm $M\in \left( P \right)$ suy ra $\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1$. Ta có $OA+OB+OC=a+b+c$
Lại có $1=\dfrac{4}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge \dfrac{{{\left( 2+1+1 \right)}^{2}}}{a+b+c}\Leftrightarrow a+b+c\ge 16$. Do đó ${{\left\{ OA+OB+OC \right\}}_{\min }}=16$.
Dấu bằng xảy ra khi $\left\{ \begin{aligned}
& a+b+c=16 \\
& \dfrac{2}{a}=\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a=8; b=c=4 $. Vậy $ \left( P \right):\dfrac{x}{8}+\dfrac{y}{4}+\dfrac{z}{4}=1$.
Đáp án D.