Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \beta \right):x+y-2\text{z}+1=0$. Giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ đi qua điểm nào dưới đây?
A. $\left( 0;1;3 \right)$
B. $\left( 2;3;3 \right)$
C. $\left( 5;6;8 \right)$
D. $\left( 1;-2;0 \right)$
A. $\left( 0;1;3 \right)$
B. $\left( 2;3;3 \right)$
C. $\left( 5;6;8 \right)$
D. $\left( 1;-2;0 \right)$
Ta có $\overrightarrow{{{u}_{d}}}\left( 1;1;2 \right)$ là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d.
$\overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;1;-2 \right)$ là một véctơ chỉ phương của $\left( \beta \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( -4;4;0 \right)$.
$A\left( 2;3;0 \right)\in d\Rightarrow A\in \left( \alpha \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):-4\left( x-2 \right)+4\left( y-3 \right)+0\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow -4\text{x}+4y-4=0\Leftrightarrow x-y+1=0$.
Giả sử $M\left( x;y;z \right)\in \left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$. Khi đó tọa độ M thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x-y+1=0 \\
& x+y-2\text{z}+1=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy $M\left( 2;3;3 \right)$ thỏa mãn.
$\overrightarrow{{{n}_{P}}}\left( 1;1;-2 \right)$ là một véctơ chỉ phương của $\left( \beta \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right]=\left( -4;4;0 \right)$.
$A\left( 2;3;0 \right)\in d\Rightarrow A\in \left( \alpha \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right):-4\left( x-2 \right)+4\left( y-3 \right)+0\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow -4\text{x}+4y-4=0\Leftrightarrow x-y+1=0$.
Giả sử $M\left( x;y;z \right)\in \left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$. Khi đó tọa độ M thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x-y+1=0 \\
& x+y-2\text{z}+1=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Thay các đáp án vào hệ trên ta thấy $M\left( 2;3;3 \right)$ thỏa mãn.
Đáp án B.