Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $Δ$ là đường thẳng...

The Knowledge · 14/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi

Δ

là đường thẳng đi qua điểm A(2;1;0), song song với mặt phẳng

(P) : x - y - z = 0

và có tổng khoảng cách từ các điểm M (0;2;0), N(4;0;0) tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của

Δ

?
A.

\vec{u_{Δ}} = (0; 1; - 1)

B.

\vec{u_{Δ}} = (1; 0; 1)

C.

\vec{u_{Δ}} = (3; 2; 1)

D.

\vec{u_{Δ}} = (2; 1; 1)

Vì

Δ

đi qua điểm A, song song với

(P) \overset{}{\to} Δ

nằm trong mặt phẳng

(α)

với

(α)

là mặt phẳng qua A và song song với (P). Suy ra

(α) : x - y - z - 1 = 0

.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N trên

(α)

. Suy ra

{\begin{aligned} H (1; 1; - 1) \\ K (3; 1; 1) \end{aligned} .

Ta có

{\begin{aligned} d (M, Δ) \geq M H \\ d (N, Δ) \geq N K \end{aligned} \Rightarrow d (M, Δ) + d (N, Δ) \geq M H + N K .

Dấu "=" xảy ra

\Leftrightarrow H \in Δ

và

K \in Δ .

Khi đó đường thẳng

Δ

có một VTCP là

\vec{H K} = (2; 0; 2)

. Đối chiếu các đáp án,

Đáp án B.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi Δ là đường thẳng...