Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm A(2;1;0), song song với mặt phẳng $\left( P \right):x-y-z=0$ và có tổng khoảng cách từ các điểm M (0;2;0), N(4;0;0) tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của $\Delta $ ?
A. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 0;1;-1 \right)$
B. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;0;1 \right)$
C. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3;2;1 \right)$
D. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2;1;1 \right)$
A. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 0;1;-1 \right)$
B. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;0;1 \right)$
C. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 3;2;1 \right)$
D. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 2;1;1 \right)$
Vì $\Delta $ đi qua điểm A, song song với $\left( P \right)\xrightarrow{{}}\Delta $ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua A và song song với (P). Suy ra $\left( \alpha \right):x-y-z-1=0$.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N trên $\left( \alpha \right)$. Suy ra$\left\{ \begin{aligned}
& H\left( 1;1;-1 \right) \\
& K\left( 3;1;1 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Ta có$\left\{ \begin{aligned}
& d\left( M,\Delta \right)\ge MH \\
& d\left( N,\Delta \right)\ge NK \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( M,\Delta \right)+d\left( N,\Delta \right)\ge MH+NK.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow H\in \Delta $ và $K\in \Delta .$
Khi đó đường thẳng $\Delta $ có một VTCP là $\overrightarrow{HK}=\left( 2;0;2 \right)$. Đối chiếu các đáp án,
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N trên $\left( \alpha \right)$. Suy ra$\left\{ \begin{aligned}
& H\left( 1;1;-1 \right) \\
& K\left( 3;1;1 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Ta có$\left\{ \begin{aligned}
& d\left( M,\Delta \right)\ge MH \\
& d\left( N,\Delta \right)\ge NK \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow d\left( M,\Delta \right)+d\left( N,\Delta \right)\ge MH+NK.$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow H\in \Delta $ và $K\in \Delta .$
Khi đó đường thẳng $\Delta $ có một VTCP là $\overrightarrow{HK}=\left( 2;0;2 \right)$. Đối chiếu các đáp án,
Đáp án B.