Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm A(2; 1; 0), song song với mặt phẳng (P): $x-y-z=0$ và tổng khoảng cách từ các điểm M(0; 2; 0), N(4; 0; 0) tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vectơ chỉ phương của $\Delta $ là vectơ nào sau đây?
A. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(0;1;-1).$
B. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(1;0;1).$
C. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(3;2;1).$
D. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(2;1;1).$
Vì $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm A, song song với mặt phẳng (P) $\to \Delta $ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua A và song song với mặt phẳng (P).
Nhận thấy A là trung điểm của MN nên $d(M,\Delta )=d(N,\Delta ).$
Ta có $d(M,\Delta )=d(N,\Delta )\ge d\left( M,\left( \alpha \right) \right).$
Dấu " = " xảy ra khi $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa MN và vuông góc với $\left( \alpha \right)$.
Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ có vectơ pháp tuyến là
$\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{p}}},\overrightarrow{AM} \right]=(1;2;-1).$
Đường thẳng $\Delta $ là giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ nên nhận $\overrightarrow{{{u}_{\vartriangle }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \right]=(3;0;3)$ làm một véc – tơ chỉ phương.
A. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(0;1;-1).$
B. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(1;0;1).$
C. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(3;2;1).$
D. $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=(2;1;1).$
Vì $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm A, song song với mặt phẳng (P) $\to \Delta $ nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua A và song song với mặt phẳng (P).
Nhận thấy A là trung điểm của MN nên $d(M,\Delta )=d(N,\Delta ).$
Ta có $d(M,\Delta )=d(N,\Delta )\ge d\left( M,\left( \alpha \right) \right).$
Dấu " = " xảy ra khi $\Delta $ nằm trong mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa MN và vuông góc với $\left( \alpha \right)$.
Mặt phẳng $\left( \beta \right)$ có vectơ pháp tuyến là
$\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{p}}},\overrightarrow{AM} \right]=(1;2;-1).$
Đường thẳng $\Delta $ là giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ nên nhận $\overrightarrow{{{u}_{\vartriangle }}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( \alpha \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( \beta \right)}}} \right]=(3;0;3)$ làm một véc – tơ chỉ phương.
Đáp án B.