Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi...

Đường thẳng $\Delta $ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 1;2;2 \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 1;-1;1 \right).$
Giả sử đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( a;b;c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right).$
Do $d\subset \left( P \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{d}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{P}}}\Leftrightarrow b=a+c$ (1)
Lại có $\left( \Delta ,d \right)=45{}^\circ \Leftrightarrow \cos \left( \Delta ,d \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}},\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right) \right|=\cos 45{}^\circ \Leftrightarrow \dfrac{\left| a+2b+2c \right|}{3\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{\left( a+2b+2c \right)}^{2}}=9\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)$ (2)
Thay (1) vào (2), ta được $2{{\left[ a+2\left( a+c \right)+2c \right]}^{2}}=9\left[ {{a}^{2}}+{{\left( a+c \right)}^{2}}+{{c}^{2}} \right]$
$\Leftrightarrow 2{{\left( 3a+4c \right)}^{2}}=9\left( 2{{a}^{2}}+2{{c}^{2}}+2ac \right)\Leftrightarrow 14{{c}^{2}}+30ac=0\Leftrightarrow 2c\left( 7c+15a \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& c=0 \\
& 15a+7c=0 \\
\end{aligned} \right..$
+ Với $c=0$, chọn $a=b=1$, phương trình đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=-1+t \\
& z=1 \\
\end{aligned} \right..$
+ Với $15a+7\text{z}=0$, chọn $a=7\Rightarrow c=-15\Rightarrow b=-8$, phương trình đường thẳng $d$ là
$\left\{ \begin{aligned}
& x=3+7t \\
& y=-1-8t \\
& z=1-15t \\
\end{aligned} \right..$