Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bao nhiêu mặt phẳng qua...

Gọi $B\left( b ; 0 ; 0 \right)$, $C\left( 0 ; c ; 0 \right)$ $\left( b, c\ne 0 \right)$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ với hai trục $Ox$, $Oy$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $A, B, C$ là mặt chắn có dạng $\left( P \right):\dfrac{x}{b}+\dfrac{y}{c}+\dfrac{z}{4}=1$.
Vì $M\in \left( P \right)$ $\Rightarrow \dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{3}{4}=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{4}$ $\Leftrightarrow 4b+8c=bc$ (1) $\cdot $
Ta có $\overrightarrow{OB}=\left( b ; 0 ; 0 \right)$, $\overrightarrow{OC}=\left( 0 ; c ; 0 \right)$ $\Rightarrow OB=\left| b \right|$, $OC=\left| c \right|$.
Theo đề ${{S}_{\Delta OBC}}=1$ $\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| bc \right|=1$ $\Leftrightarrow \left| bc \right|=2$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& bc=2 \left( 2 \right) \\
& bc=-2 \left( 3 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Từ $\left( 1 \right), \left( 2 \right)$ ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 4b+8c=bc \\
& bc=2 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4b+8c=2 \\
& b=\dfrac{2}{c} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4\left( \dfrac{2}{c} \right)+8c=2 \\
& b=\dfrac{2}{c} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8{{c}^{2}}-2c+8=0 \left( \text{vn} \right) \\
& b=\dfrac{2}{c} \\
\end{aligned} \right.$.
Từ $\left( 1 \right), \left( 3 \right)$ ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 4b+8c=bc \\
& bc=-2 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4b+8c=-2 \\
& b=-\dfrac{2}{c} \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 4\left( -\dfrac{2}{c} \right)+8c=-2 \\
& b=-\dfrac{2}{c} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 8{{c}^{2}}-2c-8=0 \\
& b=-\dfrac{2}{c} \\
\end{aligned} \right.$.
Vì phương trình $8{{c}^{2}}-2c-8=0$ có $ac=-64<0$ nên có hai nghiệm $c$ phân biệt.
Vậy có 2 mặt phẳng $\left( P \right)$ thỏa mãn bài toán.