Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2mx-2\left( m-1 \right)y-mz+m-2=0$ là phương trình của mặt cầu $\left( {{S}_{m}} \right).$ Biết với mọi số thực m thì $\left( {{S}_{m}} \right)$ luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính I của đường tròn đó.
A. $r=\dfrac{1}{2}$
B. $r=\sqrt{2}$
C. $r=\sqrt{3}$
D. $r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
A. $r=\dfrac{1}{2}$
B. $r=\sqrt{2}$
C. $r=\sqrt{3}$
D. $r=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
Gọi $M\left( x;y;z \right)$ là một điểm thuộc đường tròn cố định với mọi số thực m, khi đó ta có:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2m\text{x}-2\left( m-1 \right)y-m\text{z}+m-2=0$ đúng với $\forall m$
$\Leftrightarrow ~m\left( 2\text{x}-2y-z+1 \right)+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2=0$ đúng với $\forall m$
$\Leftrightarrow ~\left\{ \begin{aligned}
& 2\text{x}-2y-z+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy đường tròn cố định là giao tuyến của mặt phẳng $2x-2y-z+1=0$ và mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2=0$ có tâm $I\left( 0;-1;0 \right),$ bán kính $R=\sqrt{3}$
Do đó bán kính đường tròn $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I,\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{3-{{\left( \dfrac{\left| 2+1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2m\text{x}-2\left( m-1 \right)y-m\text{z}+m-2=0$ đúng với $\forall m$
$\Leftrightarrow ~m\left( 2\text{x}-2y-z+1 \right)+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2=0$ đúng với $\forall m$
$\Leftrightarrow ~\left\{ \begin{aligned}
& 2\text{x}-2y-z+1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy đường tròn cố định là giao tuyến của mặt phẳng $2x-2y-z+1=0$ và mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2y-2=0$ có tâm $I\left( 0;-1;0 \right),$ bán kính $R=\sqrt{3}$
Do đó bán kính đường tròn $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{\left[ d\left( I,\left( P \right) \right) \right]}^{2}}}=\sqrt{3-{{\left( \dfrac{\left| 2+1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}$
Đáp án B.