Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có...

Gọi ${{C}_{ABM}}$ là chu vi của tam giác ABM.
$\overrightarrow{AB}=(-2;-3;-10)\Rightarrow AB=\sqrt{113}$.
$\overrightarrow{AB}=(-2;-3;-10),\overrightarrow{C\text{D}}=(1;-4;1)$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C\text{D}}=-2+12-10=0\Rightarrow AB\bot C\text{D}$.
Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với đường thẳng CD.
H là giao điểm của $(P)$ và đường thẳng CD.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A(-1;1;6)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{C\text{D}}=(1;-4;1)$ là: $x-4y+z-1=0$.
Phương trình đường thẳng $C\text{D}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-4t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
$H\in CD\Leftrightarrow H(1+t;2-4t;-1+t)$.
$H\in (P)\Leftrightarrow 1+t-4\left( 2-4t \right)-1+t-1=0\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow H\left( \dfrac{3}{2};0;-\dfrac{1}{2} \right)$.
$\forall M\in C\text{D}$, ta có $\left\{ \begin{aligned}
& AM\ge AH \\
& BM\ge BH \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow AM+BM\ge AH+BH$.
${{C}_{ABM}}=AB+AM+BM\ge \sqrt{113}+AH+BH,\forall M\in C\text{D}$.
Suy ra $\min {{C}_{ABM}}=\sqrt{113}+AH+BH$, đạt được khi và chỉ khi $M\equiv H\Leftrightarrow M\left( \dfrac{3}{2};0;-\dfrac{1}{2} \right)$.
Vậy $a+b+c=1$.
Cách khác:
Phương trình đường thẳng $C\text{D}:\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=2-4t \\
& z=-1+t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$.
Gọi điểm $M(1+t;2-4t;-1+t)\in (CD);\overrightarrow{AB}=(-2;-3;-10);$
$\overrightarrow{MA}=(-2-t;-1+4t;7-t);\overrightarrow{MB}=(-4-t;-4+4t;-3-t)$.
Chu vi tam giác ABM là nhỏ nhất khi và chỉ khi:
${{\left( MA+MB+AB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left( MA+MB+\sqrt{113} \right)}_{\min }}\Leftrightarrow {{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$.
Ta có $MA+MB=\sqrt{18{{t}^{2}}-18t+54}+\sqrt{18{{t}^{2}}-18t+41}=f(t)$.
Sử dụng máy tính cá nhân ta được $f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\dfrac{1}{2}\Rightarrow M\left( \dfrac{3}{2};0;-\dfrac{1}{2} \right)$.