Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có $A(1;1;1)$, $B(2;0;2)$ ; $C(-1;-1;0)$, $D(0;3;4)$. Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm phẳng ${B}',{C}',{D}'$ sao cho $\dfrac{AB}{A{B}'}+\dfrac{AC}{A{C}'}+\dfrac{AD}{A{D}'}=4$. Viết phương trình mặt phẳng $({B}'{C}'{D}')$ biết tứ diện $A{B}'{C}'{D}'$ có thể tích nhỏ nhất.
A. $16x+40y-44z+39=0$.
B. $16x+40y+44z-39=0$.
C. $16x-40y-44z+39=0$.
D. $16x-40y-44z-39=0$.
A. $16x+40y-44z+39=0$.
B. $16x+40y+44z-39=0$.
C. $16x-40y-44z+39=0$.
D. $16x-40y-44z-39=0$.
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ ba số ta có: $4=\dfrac{AB}{A{B}'}+\dfrac{AC}{A{C}'}+\dfrac{AD}{A{D}'}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{AB.AC.AD}{A{B}'.A{C}'.A{D}'}}$
$\Rightarrow \dfrac{A{B}'.A{C}'.A{D}'}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{27}{64}$ $\Rightarrow $ $\dfrac{{{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{A{B}'.A{C}'.A{D}'}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{27}{64}$ $\Rightarrow {{V}_{AB'C'D'}}\ge \dfrac{27}{64}{{V}_{ABCD}}$
Để ${{V}_{AB'C'D'}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{A{B}'}{AB}=\dfrac{A{C}'}{AC}=\dfrac{A{D}'}{AD}=\dfrac{3}{4}$ $\Rightarrow \overrightarrow{A{B}'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\Rightarrow {B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$
Lúc đó mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ song song với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ và đi qua ${B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-3;-1;-2);\overrightarrow{BD}=(-2;3;2)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=(4;10;-11)$
Phương trình mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ qua ${B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$ có vtpt $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=(4;10;-11)$ là $16x+40y-44z+39=0$.
$\Rightarrow \dfrac{A{B}'.A{C}'.A{D}'}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{27}{64}$ $\Rightarrow $ $\dfrac{{{V}_{A{B}'{C}'{D}'}}}{{{V}_{ABCD}}}=\dfrac{A{B}'.A{C}'.A{D}'}{AB.AC.AD}\ge \dfrac{27}{64}$ $\Rightarrow {{V}_{AB'C'D'}}\ge \dfrac{27}{64}{{V}_{ABCD}}$
Để ${{V}_{AB'C'D'}}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\dfrac{A{B}'}{AB}=\dfrac{A{C}'}{AC}=\dfrac{A{D}'}{AD}=\dfrac{3}{4}$ $\Rightarrow \overrightarrow{A{B}'}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}\Rightarrow {B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$
Lúc đó mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ song song với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ và đi qua ${B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$
Ta có: $\overrightarrow{BC}=(-3;-1;-2);\overrightarrow{BD}=(-2;3;2)$ $\Rightarrow \left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=(4;10;-11)$
Phương trình mặt phẳng $\left( {B}'{C}'{D}' \right)$ qua ${B}'\left( \dfrac{7}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{7}{4} \right)$ có vtpt $\overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right]=(4;10;-11)$ là $16x+40y-44z+39=0$.
Đáp án A.