T

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có $A\left(...

Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có
$A\left( 0;0;3 \right),B\left( 0;3;0 \right),C\left( 3;0;0 \right),D\left( 3;3;3 \right).$ Hỏi có bao nhiêu điểm $M\left( x;y;z \right)$ (với x, y, z nguyên) nằm trong tứ diện?
A. 4.
B. 10.
C. 1.
D. 7.
Ta có phương trình các mặt phẳng (ABC), (DAB), (DBC), (DAC) lần lượt là
$x+y+z-3=0, -x+y+z-3=0, x+y-z-3=0, x-y+z-3=0.$
Nếu M(x;y;z) nằm trong tứ diện thì M, O khác phía so với mặt phẳng (ABC) và cùng phía so với các mặt phẳng còn lại, đồng thời M có toạ độ là những số nguyên dương.
Từ đó toạ độ M thoả mãn $\left\{ \begin{aligned}
& x+y+z-3>0 \\
& -x+y+z-3<0 \\
& x-y+z-3<0 \\
& x+y-z-3<0 \\
& x,y,z\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\
\end{aligned} \right.$
Không mất tính tổng quát giả sử $x\ge y\ge z.$
Từ $x+y<3+z\le 3+y\Leftrightarrow x<3\Rightarrow 1\le x,y,z\le 2.$
Do đó ta có các bộ $\left( x;y;z \right)\in \left\{ \left( 1;1;2 \right);\left( 1;2;1 \right);\left( 2;1;1 \right);\left( 2;2;2 \right) \right\}$ thoả mãn hệ phương trình trên. Vậy có tất cả 4 điểm M nằm trong tứ diện.
Đáp án A.
 

Quảng cáo

Back
Top