Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết $A\left( 3;2;0 \right),B\left( 1;-1;4 \right),C\left( -4;5;5 \right),D\left( 2;0;0 \right)$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua D sao cho ba điểm A, B, C nằm về cùng một phía của mặt phẳng $\left( P \right)$ và tổng khoảng cách từ ba điểm A, B, C đến mặt phẳng $\left( P \right)$ lớn nhất. Khi đó điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ ?
A. $M\left( 0;1;0 \right).$
B. $N\left( 1;0;2 \right).$
C. $E\left( 3;-1;-2 \right).$
D. $F\left( 1;-1;0 \right).$
A. $M\left( 0;1;0 \right).$
B. $N\left( 1;0;2 \right).$
C. $E\left( 3;-1;-2 \right).$
D. $F\left( 1;-1;0 \right).$
Gọi A', B', C' lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên mặt phẳng $\left( P \right);\ G,G'$ là trọng tâm của $\Delta ABC$ và $\Delta A'B'C';\ M,M'$ lần lượt là trung điểm của BC và B'C'; N, N' là điểm sao cho M là trung điểm GN, M' là trung điểm G'N'. Ta có $G\left( 0;2;3 \right)$.
Suy ra G là trung điểm của AN, G' là trung điểm của A'N'.
Có $\begin{aligned}
& AA'+BB'+CC'=AA'+2MM'=AA'+2.\dfrac{GG'+NN'}{2} \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( AA'+NN' \right)+GG'=2GG'+GG'=3GG'. \\
\end{aligned}$
Dễ thấy G' là hình chiếu của G trên mặt phẳng $\left( P \right)$ nên với mọi điểm $D\in \left( P \right)$ ta có $GG'\le GD.$
Khi đó $AA'+BB'+CC'=3GG'\le 3GD=3\sqrt{{{\left( 2-0 \right)}^{2}}+{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 0-3 \right)}^{2}}}=3\sqrt{17}.$
Dấu bằng xảy ra khi $G'\equiv D$, hay $GD\bot \left( P \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua D và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{GD}=\left( 2;-2;-3 \right)$ nên có phương trình là $2\left( x-2 \right)-2\left( y-0 \right)-3\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 2x-2y-3z-4=0$ và mặt phẳng này luôn đi qua điểm $F\left( 1;-1;0 \right).$
Suy ra G là trung điểm của AN, G' là trung điểm của A'N'.
Có $\begin{aligned}
& AA'+BB'+CC'=AA'+2MM'=AA'+2.\dfrac{GG'+NN'}{2} \\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( AA'+NN' \right)+GG'=2GG'+GG'=3GG'. \\
\end{aligned}$
Dễ thấy G' là hình chiếu của G trên mặt phẳng $\left( P \right)$ nên với mọi điểm $D\in \left( P \right)$ ta có $GG'\le GD.$
Khi đó $AA'+BB'+CC'=3GG'\le 3GD=3\sqrt{{{\left( 2-0 \right)}^{2}}+{{\left( 0-2 \right)}^{2}}+{{\left( 0-3 \right)}^{2}}}=3\sqrt{17}.$
Dấu bằng xảy ra khi $G'\equiv D$, hay $GD\bot \left( P \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua D và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{GD}=\left( 2;-2;-3 \right)$ nên có phương trình là $2\left( x-2 \right)-2\left( y-0 \right)-3\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 2x-2y-3z-4=0$ và mặt phẳng này luôn đi qua điểm $F\left( 1;-1;0 \right).$
Đáp án D.