Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$, có $\widehat{ABC}=60{}^\circ $ ; $AB=3\sqrt{2}$. Đường thẳng $AB$ có phương trình $\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-4}{1}=\dfrac{x+8}{-4}$, đường thẳng $AC$ nằm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+z-1=0$. Biết điểm $B$ có hoành độ dương, gọi $\left( a;b;c \right)$ là tọa độ của điểm $C$.
Giá trị $a+b+c$ bằng.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.
Giá trị $a+b+c$ bằng.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.
Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-4}{1}=\dfrac{x+8}{-4} \\
& x+z-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( 1;2;0 \right)$.
Gọi $B\left( 3+m;4+m;-8-4m \right)\in AB$. Vì ${{x}_{B}}>0\Rightarrow m>-3$.
Từ $AB=3\sqrt{2}\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=18\Leftrightarrow 18{{\left( m+2 \right)}^{2}}=18\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-3\left( \text{loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i} \right) \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B\left( 2;3;-4 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& C\in \left( \alpha \right) \\
& AC=AB.\sin 60{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \\
& \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+c-1=0 \\
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}=\dfrac{27}{2} \\
& \left( a-2 \right)\left( a-1 \right)+\left( b-3 \right)\left( b-2 \right)+c\left( c+4 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Giải hệ trên ta được $a=\dfrac{7}{2};b=3;c=-\dfrac{5}{2}$. Vậy $a+b+c=4$.
& \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-4}{1}=\dfrac{x+8}{-4} \\
& x+z-1=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow A\left( 1;2;0 \right)$.
Gọi $B\left( 3+m;4+m;-8-4m \right)\in AB$. Vì ${{x}_{B}}>0\Rightarrow m>-3$.
Từ $AB=3\sqrt{2}\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=18\Leftrightarrow 18{{\left( m+2 \right)}^{2}}=18\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-3\left( \text{loa }\!\!\ddot{\mathrm{i}}\!\!\text{ i} \right) \\
& m=-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow B\left( 2;3;-4 \right)$.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& C\in \left( \alpha \right) \\
& AC=AB.\sin 60{}^\circ =\dfrac{3\sqrt{6}}{2} \\
& \overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AC}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+c-1=0 \\
& {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-2 \right)}^{2}}+{{c}^{2}}=\dfrac{27}{2} \\
& \left( a-2 \right)\left( a-1 \right)+\left( b-3 \right)\left( b-2 \right)+c\left( c+4 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.$
Giải hệ trên ta được $a=\dfrac{7}{2};b=3;c=-\dfrac{5}{2}$. Vậy $a+b+c=4$.
Đáp án C.