Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho tam giác $A B C$ vuông...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho tam giác

A B C

vuông tại

C

, có

\hat{A B C} = 60^{\circ}

;

A B = 3 \sqrt{2}

. Đường thẳng

A B

có phương trình

\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{x + 8}{- 4}

, đường thẳng

A C

nằm trên mặt phẳng

(α) : x + z - 1 = 0

. Biết điểm

B

có hoành độ dương, gọi

(a; b; c)

là tọa độ của điểm

C

.
Giá trị

a + b + c

bằng.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.

Tọa độ điểm

A

là nghiệm của hệ

{\begin{aligned} \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{x + 8}{- 4} \\ x + z - 1 = 0 \end{aligned} \Rightarrow A (1; 2; 0)

.
Gọi

B (3 + m; 4 + m; - 8 - 4 m) \in A B

. Vì

x_{B} > 0 \Rightarrow m > - 3

.
Từ

A B = 3 \sqrt{2} \Leftrightarrow A B^{2} = 18 \Leftrightarrow 18 {(m + 2)}^{2} = 18 \Leftrightarrow [\begin{aligned} m = - 3 (loa \ddot{i} i) \\ m = - 1 \end{aligned} \Rightarrow B (2; 3; - 4)

.
Ta có

{\begin{aligned} C \in (α) \\ A C = A B . \sin 60^{\circ} = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \\ \vec{B C} . \vec{A C} = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a + c - 1 = 0 \\ {(a - 1)}^{2} + {(b - 2)}^{2} + c^{2} = \frac{27}{2} \\ (a - 2) (a - 1) + (b - 3) (b - 2) + c (c + 4) = 0 \end{aligned}

Giải hệ trên ta được

a = \frac{7}{2}; b = 3; c = - \frac{5}{2}

. Vậy

a + b + c = 4

.

Đáp án C.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC vuông...