Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A\left( 1;0;0 \right),B\left( 3;2;4 \right),C\left( 0;5;4 \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ sao cho $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất.
A. $M\left( 1;3;0 \right).$
B. $M\left( 1;-3;0 \right).$
C. $M\left( 3;1;0 \right).$
D. $M\left( 2;6;0 \right).$
A. $M\left( 1;3;0 \right).$
B. $M\left( 1;-3;0 \right).$
C. $M\left( 3;1;0 \right).$
D. $M\left( 2;6;0 \right).$
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow I\left( 1;3;3 \right).$
Khi đó $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|=\left| \left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)+\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)+2\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right) \right|$
$=\left| 4\overrightarrow{MI}+\left( \underbrace{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}}_{=0} \right) \right|=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|=4MI$
Do $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ nên để $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất hay $MI$ nhỏ nhất thì $M$ là hình chiếu của $I\left( 1;3;3 \right)$ trên $\left( Oxy \right)\Rightarrow M\left( 1;3;0 \right).$
Khi đó $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|=\left| \left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)+\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)+2\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right) \right|$
$=\left| 4\overrightarrow{MI}+\left( \underbrace{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}}_{=0} \right) \right|=\left| 4\overrightarrow{MI} \right|=4MI$
Do $M$ thuộc mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ nên để $\left| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC} \right|$ nhỏ nhất hay $MI$ nhỏ nhất thì $M$ là hình chiếu của $I\left( 1;3;3 \right)$ trên $\left( Oxy \right)\Rightarrow M\left( 1;3;0 \right).$
Đáp án A.