Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình của mặt cầu $\left( {{S}_{m}} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\left( m+2 \right)x+2my-2mz-m-3=0$. Biết với mọi số thực m thì $\left( {{S}_{m}} \right)$ luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính r của đường tròn đó
A. $r=\dfrac{1}{3}$
B. $r=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
C. $r=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
D. $r=\sqrt{3}$
A. $r=\dfrac{1}{3}$
B. $r=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
C. $r=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$
D. $r=\sqrt{3}$
Gọi $M\left( x;y;z \right)$ là điểm cố định là $\left( {{S}_{m}} \right)$ luôn đi qua. Suy ra:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\left( m+2 \right)x+2my-2mz-m-3=0,\forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\left( x+2y-2z-1 \right)=-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-3 \right),\forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+2y-2z-1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra tập hợp điểm M là một đường tròn cố định được tạo ra bởi giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-2z-1=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-3=0$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( -1;0;0 \right)$ và bán kính $R=2$ và $h=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{2}{3}$
Suy ra bán kính của đường tròn là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+\left( m+2 \right)x+2my-2mz-m-3=0,\forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow m\left( x+2y-2z-1 \right)=-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-3 \right),\forall m\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+2y-2z-1=0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra tập hợp điểm M là một đường tròn cố định được tạo ra bởi giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-2z-1=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-3=0$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( -1;0;0 \right)$ và bán kính $R=2$ và $h=d\left( I,\left( P \right) \right)=\dfrac{2}{3}$
Suy ra bán kính của đường tròn là: $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{{{2}^{2}}-{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{2}}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}$
Đáp án B.