Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (P) là mặt phẳng chứa...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng

Δ : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z + 2}{- 2}

và tiếp xúc với mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 3 = 0

. Khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A.

M (2; 0; 0)

B.

N (2; 1; 0)

C.

P (1; 1; - 1)

D.

Q (- 1; 2; 0)

Ta có:

Δ : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{x + 2}{- 2} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 2 x + y = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{aligned}

Do

Δ \subset (P)

, suy ra mặt phẳng (P) có dạng:

a . (2 x + y) + b . (y - z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 a x + (a + b) y - b z - 2 b = 0

với

a^{2} + b^{2} > 0

Mặt cầu (S) có tâm

I (1; 0; 0)

và bán kính

R = 2

Do

(P)

tiếp xúc với

(S)

nên:

d (I, (P)) = R \Leftrightarrow \frac{| 2 a - 2 b |}{\sqrt{4 a^{2} + {(a + b)}^{2} + b^{2}}} = 2

\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} = 4 a^{2} + {(a + b)}^{2} + b^{2} \Leftrightarrow 4 a^{2} + 4 a b + b^{2} = 0 \Leftrightarrow {(2 a + b)}^{2} = 0 \Leftrightarrow b = - 2 a

Chọn

{\begin{aligned} a = 1 \\ b = - 2 \end{aligned} \Rightarrow (P) : 2 x - y + 2 z + 4 = 0

đi qua điểm

Q (- 1; 2; 0)

Chú ý: Mặt phẳng chứa đường thẳng

Δ : {\begin{aligned} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0 \end{aligned}

luôn có dạng:

A . (a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1}) + B . (a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2}) = 0

với

A^{2} + B^{2} \neq 0

Đáp án D.