Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z+2}{-2}$ và tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-3=0$. Khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm sau?
A. $M\left( 2;0;0 \right)$
B. $N\left( 2;1;0 \right)$
C. $P\left( 1;1;-1 \right)$
D. $Q\left( -1;2;0 \right)$
A. $M\left( 2;0;0 \right)$
B. $N\left( 2;1;0 \right)$
C. $P\left( 1;1;-1 \right)$
D. $Q\left( -1;2;0 \right)$
Ta có: $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{x+2}{-2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+y=0 \\
& y-z-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
Do $\Delta \subset \left( P \right)$, suy ra mặt phẳng (P) có dạng:
$a.\left( 2x+y \right)+b.\left( y-z-2 \right)=0\Leftrightarrow 2ax+\left( a+b \right)y-bz-2b=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;0;0 \right)$ và bán kính $R=2$
Do $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên: $d\left( I,\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2a-2b \right|}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2$
$\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+4ab+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( 2a+b \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow b=-2a$
Chọn $\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( P \right):2x-y+2z+4=0 $ đi qua điểm $ Q\left( -1;2;0 \right)$
Chú ý: Mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0 \\
& {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.$ luôn có dạng:
$A.\left( {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}} \right)+B.\left( {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}} \right)=0$ với ${{A}^{2}}+{{B}^{2}}\ne 0$
& 2x+y=0 \\
& y-z-2=0 \\
\end{aligned} \right.$
Do $\Delta \subset \left( P \right)$, suy ra mặt phẳng (P) có dạng:
$a.\left( 2x+y \right)+b.\left( y-z-2 \right)=0\Leftrightarrow 2ax+\left( a+b \right)y-bz-2b=0$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}>0$
Mặt cầu (S) có tâm $I\left( 1;0;0 \right)$ và bán kính $R=2$
Do $\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right)$ nên: $d\left( I,\left( P \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| 2a-2b \right|}{\sqrt{4{{a}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}}=2$
$\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}=4{{a}^{2}}+{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{b}^{2}}\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}+4ab+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left( 2a+b \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow b=-2a$
Chọn $\left\{ \begin{aligned}
& a=1 \\
& b=-2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( P \right):2x-y+2z+4=0 $ đi qua điểm $ Q\left( -1;2;0 \right)$
Chú ý: Mặt phẳng chứa đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}}=0 \\
& {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}}=0 \\
\end{aligned} \right.$ luôn có dạng:
$A.\left( {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y+{{c}_{1}}z+{{d}_{1}} \right)+B.\left( {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y+{{c}_{2}}z+{{d}_{2}} \right)=0$ với ${{A}^{2}}+{{B}^{2}}\ne 0$
Đáp án D.