Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ ${Oxyz}$, cho mặt phẳng ${(\alpha)}$ đi qua điểm ${M(1 ; 2 ; 3)}$ và cắt các trục ${Ox}$, ${Oy}$, ${Oz}$ lần lượt tại ${A}$, ${B}$, ${C}$ (khác gốc toạ độ ${O}$ ) sao cho ${M}$ là trực tâm tam giác ${ABC}$. Mặt phẳng ${(\alpha)}$ có phương trình là
A. ${\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}-1=0}$.
B. ${3x+2y+z-10=0}$.
C. ${x+2 y+3z-14=0}$.
D. ${x+2y+3z+14=0}$.
Đầu tiên, ta sẽ chứng minh ${M}$ cũng là hình chiếu từ điểm ${O}$ lên mặt phẳng ${(ABC)}$.
Thật vậy, do ${CM\perp AB}$ và ${OC\perp AB}$ nên ${(OCM)\perp AB}$ suy ra ${(OCM)\perp (ABC)}$.
Tương tự, ${(OAM)\perp (ABC)}$. Hai mặt phẳng ${(OCM)}$, ${(OAM)}$ cùng vuông góc với mặt phẳng ${(ABC)}$ nên giao tuyến của chúng là ${OM\perp (ABC)}$.
Do đó, mặt phẳng ${(ABC)}$ đi qua ${M(1;2;3)}$ và nhận ${\overrightarrow{OM}=(1;2;3)}$ làmvectơ pháp tuyến. Vậy phương trình mặt phẳng ${(ABC)}$ có dạng
${1(x-1)+2(y-2)+3(y-3)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-14=0.}$
A. ${\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}-1=0}$.
B. ${3x+2y+z-10=0}$.
C. ${x+2 y+3z-14=0}$.
D. ${x+2y+3z+14=0}$.
Thật vậy, do ${CM\perp AB}$ và ${OC\perp AB}$ nên ${(OCM)\perp AB}$ suy ra ${(OCM)\perp (ABC)}$.
Tương tự, ${(OAM)\perp (ABC)}$. Hai mặt phẳng ${(OCM)}$, ${(OAM)}$ cùng vuông góc với mặt phẳng ${(ABC)}$ nên giao tuyến của chúng là ${OM\perp (ABC)}$.
Do đó, mặt phẳng ${(ABC)}$ đi qua ${M(1;2;3)}$ và nhận ${\overrightarrow{OM}=(1;2;3)}$ làmvectơ pháp tuyến. Vậy phương trình mặt phẳng ${(ABC)}$ có dạng
${1(x-1)+2(y-2)+3(y-3)=0\Leftrightarrow x+2y+3z-14=0.}$
Đáp án C.