Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $x-y-z+3=0$, điểm $A\left( 0;1;2 \right)$ và đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z-1}{1}$. Mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right),\left( {{S}_{2}} \right)$ cùng tiếp xúc $\left( P \right)$ tại $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$. Tổng bán kính của hai mặt cầu bằng
A. $\sqrt{3}+\sqrt{11}$.
B. $12\sqrt{3}$.
C. $3\sqrt{3}$.
D. $10\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu, vì mặt cầu tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $A$ nên $I$ nằm trên đường thẳng qua $A$ vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( t;1-t;2-t \right)$.
Đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( 1;-3;1 \right),\overrightarrow{u}\left( 1;-2;1 \right)$ và $\overrightarrow{IM}=\left( 1-t;t-4;t-1 \right)$ do đó $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{IM} \right]=\left( 6-3t;2-2t;-t-2 \right)$ và $d\left( I,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{IM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 6-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}+{{\left( -t-2 \right)}^{2}}}{1+4+1}}$.
Bán kính mặt cầu là
$R=IA=d\left( I,d \right)\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{{{\left( 6-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}+{{\left( -t-2 \right)}^{2}}}{1+4+1}}=\sqrt{3{{t}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-11 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& R=\sqrt{3} \\
& R=11\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
A. $\sqrt{3}+\sqrt{11}$.
B. $12\sqrt{3}$.
C. $3\sqrt{3}$.
D. $10\sqrt{3}$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu, vì mặt cầu tiếp xúc với $\left( P \right)$ tại $A$ nên $I$ nằm trên đường thẳng qua $A$ vuông góc với $\left( P \right)$ có phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& x=t \\
& y=1-t \\
& z=2-t \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( t;1-t;2-t \right)$.
Đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( 1;-3;1 \right),\overrightarrow{u}\left( 1;-2;1 \right)$ và $\overrightarrow{IM}=\left( 1-t;t-4;t-1 \right)$ do đó $\left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{IM} \right]=\left( 6-3t;2-2t;-t-2 \right)$ và $d\left( I,d \right)=\dfrac{\left| \left[ \overrightarrow{u},\overrightarrow{IM} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\sqrt{\dfrac{{{\left( 6-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}+{{\left( -t-2 \right)}^{2}}}{1+4+1}}$.
Bán kính mặt cầu là
$R=IA=d\left( I,d \right)\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{{{\left( 6-3t \right)}^{2}}+{{\left( 2-2t \right)}^{2}}+{{\left( -t-2 \right)}^{2}}}{1+4+1}}=\sqrt{3{{t}^{2}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=1 \\
& t=-11 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& R=\sqrt{3} \\
& R=11\sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án B.