Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x-2y+3z-4=0$ và hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{2},{{d}_{2}}:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z+1}{1}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với (P) và cắt ${{d}_{1}},{{d}_{2}}$ theo thứ tự tại M, N sao cho $MN=\sqrt{3}$. Điểm nào sau đây thuộc $(\alpha )$ ?
A. (1; 2; 3).
B. (0; 1; -3).
C. (0; -1; 3).
D. (0; 1; 3).
A. (1; 2; 3).
B. (0; 1; -3).
C. (0; -1; 3).
D. (0; 1; 3).
Mặt phẳng (P) có VTPT $\overrightarrow{{{n}_{p}}}=(1;-2;3).$
Điểm $\left\{ \begin{aligned}
& M\in {{d}_{1}}\to M(1+m;-m;-1+2m) \\
& N\in {{d}_{2}}\to N(1+2n;3+n;-1+n) \\
\end{aligned} \right.\to \overrightarrow{MN}=(2n-m;n+m+3;n-2m)$
là vectơ vuông góc với VTPT của $\left( \alpha \right)$.
$\left( \alpha \right)//(P)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{p}}}\bot \overrightarrow{MN}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{p}}}.\overrightarrow{MN}=0\Leftrightarrow (2n-m).1+(n+m+3)(-2)+(n-2m)3=0$
$\Leftrightarrow n=2+3m$.
Ta có:
$MN=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{(2n-m)}^{2}}+{{(n+m+3)}^{2}}+{{(n-2m)}^{2}}=3\xrightarrow{n=2+3m}m=-1\Rightarrow M(0;1;-3).$
Khi đó $\left( \alpha \right):\left\{ \begin{aligned}
& \text{qua M(0;1;-3)} \\
& \text{VTPT }\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=(1;-2;3) \\
\end{aligned} \right.\to \left( \alpha \right):x-2y+3z+11=0.$
Điểm $\left\{ \begin{aligned}
& M\in {{d}_{1}}\to M(1+m;-m;-1+2m) \\
& N\in {{d}_{2}}\to N(1+2n;3+n;-1+n) \\
\end{aligned} \right.\to \overrightarrow{MN}=(2n-m;n+m+3;n-2m)$
là vectơ vuông góc với VTPT của $\left( \alpha \right)$.
$\left( \alpha \right)//(P)\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{p}}}\bot \overrightarrow{MN}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{p}}}.\overrightarrow{MN}=0\Leftrightarrow (2n-m).1+(n+m+3)(-2)+(n-2m)3=0$
$\Leftrightarrow n=2+3m$.
Ta có:
$MN=\sqrt{3}\Leftrightarrow {{(2n-m)}^{2}}+{{(n+m+3)}^{2}}+{{(n-2m)}^{2}}=3\xrightarrow{n=2+3m}m=-1\Rightarrow M(0;1;-3).$
Khi đó $\left( \alpha \right):\left\{ \begin{aligned}
& \text{qua M(0;1;-3)} \\
& \text{VTPT }\overrightarrow{{{n}_{\alpha }}}=(1;-2;3) \\
\end{aligned} \right.\to \left( \alpha \right):x-2y+3z+11=0.$
Đáp án B.