Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left(...

Cách giải:

Dễ thấy $M\in \left( \alpha \right)$
Gọi $d'$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $d.$ Khi đó ta có: $\angle \left( d';\Delta \right)=\left( d;\Delta \right)$.
Đường thẳng $d$ có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left( 0;3;-2 \right),$ cũng là VTCP của $d'.$
$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $d'$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=3 \\
& y=1+3t \\
& z=1-2t \\
\end{aligned} \right.$
Lấy $A\left( 3;4;-1 \right)\in d\Rightarrow AM$ không đổi.
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( \alpha \right)$ và $\Delta $ ta có $AH\le AK.$
$\Rightarrow \sin \angle \left( d';\Delta \right)=\dfrac{AK}{AM}\ge \dfrac{AH}{AM}.$
Khi đó góc giữa $d$ và $\alpha $ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\sin \angle \left( d';\Delta \right)$ nhỏ nhất $\Rightarrow K\equiv H.$
Khi đó $\Delta $ đi qua $M$ và $H.$
Phương trình đường thẳng $AH$ đi qua $A$ và vuông góc với $\left( \alpha \right)$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=4+t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó $H=AH\cap \left( \alpha \right)$ nên tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ
$\left\{ \begin{aligned}
& x=3+t \\
& y=4+t \\
& z=-1-t \\
& z+y-z-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 3+t+4+t+1+t-3=0 \\
& x=3+t \\
& y=4+t \\
& z=-1-t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{5}{3} \\
& x=\dfrac{4}{3} \\
& y=\dfrac{7}{3} \\
& z=\dfrac{2}{3} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow H\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{7}{3};\dfrac{2}{3} \right)$
$\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\left( -\dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3};-\dfrac{1}{3} \right)//\left( 5;-4;1 \right)\Rightarrow \Delta $ có 1 VTCP là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 5;-4;1 \right).$