Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x-y+z-10=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{-1}$. Đường thẳng $\Delta $ cắt $\left( P \right)$ và $d$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A\left( 3;2;1 \right)$ là trung điểm $MN$. Tính độ dài đoạn $MN.$
A. $MN=4\sqrt{6}.$
B. $MN=2\sqrt{6}.$
C. $MN=6\sqrt{2}.$
D. $MN=2\sqrt{14}.$
A. $MN=4\sqrt{6}.$
B. $MN=2\sqrt{6}.$
C. $MN=6\sqrt{2}.$
D. $MN=2\sqrt{14}.$
Phương trình tham số đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2+2t \\
& y=1+t \\
& z=1-t \\
\end{aligned} \right. $, $ t$ là tham số.
Vì $N\in d$ nên tọa độ điểm $N\left( -2+2t;1+t;1-t \right)$
Do $A$ là trung điểm của $MN$ nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=2{{x}_{A}}-{{x}_{N}} \\
& {{y}_{M}}=2{{y}_{A}}-{{y}_{N}} \\
& {{z}_{M}}=2{{z}_{A}}-{{z}_{N}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=8-2t \\
& {{y}_{M}}=3-t \\
& {{z}_{M}}=1+t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow M\left( 8-2t;3-t;1+t \right)$
Mà $M\in \left( P \right)$ nên ta có: $2\left( 8-2t \right)-\left( 3-t \right)+\left( 1+t \right)-10=0\Leftrightarrow t=2$.
$\Rightarrow N\left( 2;3;-1 \right),M\left( 4;1;3 \right)$
Khi đó: $MN=\sqrt{{{\left( 4-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}+{{\left( 3+1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{6}.$
Vậy độ dài đoạn $MN=2\sqrt{6}$.
& x=-2+2t \\
& y=1+t \\
& z=1-t \\
\end{aligned} \right. $, $ t$ là tham số.
Vì $N\in d$ nên tọa độ điểm $N\left( -2+2t;1+t;1-t \right)$
Do $A$ là trung điểm của $MN$ nên ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=2{{x}_{A}}-{{x}_{N}} \\
& {{y}_{M}}=2{{y}_{A}}-{{y}_{N}} \\
& {{z}_{M}}=2{{z}_{A}}-{{z}_{N}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=8-2t \\
& {{y}_{M}}=3-t \\
& {{z}_{M}}=1+t \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow M\left( 8-2t;3-t;1+t \right)$
Mà $M\in \left( P \right)$ nên ta có: $2\left( 8-2t \right)-\left( 3-t \right)+\left( 1+t \right)-10=0\Leftrightarrow t=2$.
$\Rightarrow N\left( 2;3;-1 \right),M\left( 4;1;3 \right)$
Khi đó: $MN=\sqrt{{{\left( 4-2 \right)}^{2}}+{{\left( 1-3 \right)}^{2}}+{{\left( 3+1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{6}.$
Vậy độ dài đoạn $MN=2\sqrt{6}$.
Đáp án B.