Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $\left(...

The Professor · 28/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ

O x y z

, cho mặt phẳng

(α) : x + a y + b z - 1 = 0

và đường thẳng

Δ : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1} .

Biết rằng

(α)

//

Δ

và

(α)

tạo với các trục

O x, O z

các góc giống nhau. Tìm giá trị của

a

.
A.

a = - 1

hoặc

a = 1.

B.

a = 2

hoặc

a = 0.

C.

a = 0.

D.

a = 2.

Chọn

A (0; 0; 1) \in Δ

.
Ta có

{\begin{aligned} {\vec{u}}_{Δ} = (1; - 1; - 1) \\ {\vec{n}}_{(α)} = (1; a; b) \end{aligned}

mà

(α)

//

Δ

\Leftrightarrow {\begin{aligned} {\vec{n}}_{(α)} . {\vec{u}}_{Δ} = 0 \\ A \notin (α) \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 1 - a - b = 0 \\ b \neq 1 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a + b = 1 \\ b \neq 1 \end{aligned}

(*) .

Mặt khác

(α)

tạo với các trục

O x, O z

các góc bằng nhau, suy ra

s i n ({\vec{n}}_{(α)}; \vec{i}) = s i n ({\vec{n}}_{(α)}; \vec{k})

với

{\begin{aligned} \vec{i} = (1; 0; 0) \\ \vec{k} = (0; 0; 1) \end{aligned}

\Rightarrow \frac{| {\vec{n}}_{(α)} . \vec{i} |}{| {\vec{n}}_{(α)} | | \vec{i} |} = \frac{| {\vec{n}}_{(α)} . \vec{k} |}{| {\vec{n}}_{(α)} | | \vec{k} |} \Leftrightarrow \frac{1}{1} = \frac{| b |}{1} \Leftrightarrow b = \pm 1

, thế vào

(*)

, ta được

[\begin{aligned} a = 2 \\ a = 0 \end{aligned} .

Khi

a = 2

thì

b = - 1

(thỏa mãn), khi

a = 0

thì

b = 1

(không thỏa mãn)
Vậy

a = 2.

Đáp án D.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(...