Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+ay+bz-1=0$ và đường thẳng $\Delta :\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{- 1}=\dfrac{z-1}{- 1}.$ Biết rằng $\left( \alpha \right)$ $\text{//}$ $\Delta $ và $\left( \alpha \right)$ tạo với các trục $Ox,Oz$ các góc giống nhau. Tìm giá trị của $a$.
A. $a=-1$ hoặc $a=1.$
B. $a=2$ hoặc $a=0.$
C. $a=0.$
D. $a=2.$
A. $a=-1$ hoặc $a=1.$
B. $a=2$ hoặc $a=0.$
C. $a=0.$
D. $a=2.$
Chọn $A\left( 0;0;1 \right)\in \Delta $.
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{u}}}_{\Delta }}=\left( 1;- 1;- 1 \right) \\
& {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}=\left( 1;a;b \right) \\
\end{aligned} \right. $mà $ \left( \alpha \right) $//$ \Delta $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}.{{{\vec{u}}}_{\Delta }}=0 \\
& A\notin \left( \alpha \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-a-b=0 \\
& b\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b=1 \\
& b\ne 1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( * \right).$
Mặt khác $\left( \alpha \right)$ tạo với các trục $Ox,Oz$ các góc bằng nhau, suy ra $sin\left( {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}};\vec{i} \right)=sin\left( {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}};\vec{k} \right)$ với $\left\{ \begin{aligned}
& \vec{i}=\left( 1;0;0 \right) \\
& \vec{k}=\left( 0;0;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}.\vec{i} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}} \right|\left| {\vec{i}} \right|}=\dfrac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}.\vec{k} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}} \right|\left| {\vec{k}} \right|}\Leftrightarrow \dfrac{1}{1}=\dfrac{\left| b \right|}{1}\Leftrightarrow b=\pm 1$, thế vào $\left( * \right)$, ta được $\left[ \begin{aligned}
& a=2 \\
& a=0 \\
\end{aligned} \right..$
Khi $a=2$ thì $b=-1$ (thỏa mãn), khi $a=0$ thì $b=1$ (không thỏa mãn)
Vậy $a=2.$
Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{u}}}_{\Delta }}=\left( 1;- 1;- 1 \right) \\
& {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}=\left( 1;a;b \right) \\
\end{aligned} \right. $mà $ \left( \alpha \right) $//$ \Delta $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}.{{{\vec{u}}}_{\Delta }}=0 \\
& A\notin \left( \alpha \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 1-a-b=0 \\
& b\ne 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a+b=1 \\
& b\ne 1 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( * \right).$
Mặt khác $\left( \alpha \right)$ tạo với các trục $Ox,Oz$ các góc bằng nhau, suy ra $sin\left( {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}};\vec{i} \right)=sin\left( {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}};\vec{k} \right)$ với $\left\{ \begin{aligned}
& \vec{i}=\left( 1;0;0 \right) \\
& \vec{k}=\left( 0;0;1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \dfrac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}.\vec{i} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}} \right|\left| {\vec{i}} \right|}=\dfrac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}}.\vec{k} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( \alpha \right)}} \right|\left| {\vec{k}} \right|}\Leftrightarrow \dfrac{1}{1}=\dfrac{\left| b \right|}{1}\Leftrightarrow b=\pm 1$, thế vào $\left( * \right)$, ta được $\left[ \begin{aligned}
& a=2 \\
& a=0 \\
\end{aligned} \right..$
Khi $a=2$ thì $b=-1$ (thỏa mãn), khi $a=0$ thì $b=1$ (không thỏa mãn)
Vậy $a=2.$
Đáp án D.