Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P...

Gọi $A\left( a;0;0 \right)\in Ox,B\left( 0;b;0 \right)\in Oy,C\left( 0;0;c \right)\in Oz.$
Phương trình mặt chắn của $\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.$
Ta có: $\overrightarrow{AH}=\left( 1-a;-2;3 \right),\overrightarrow{BH}=\left( 1;-2-b;3 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;-b;c \right),\overrightarrow{AC}=\left( -a;0;c \right).$
Để H là trực tâm tam giác ABC thì
$\left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0 \\
& \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0 \\
& H\in \left( ABC \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2b+3c=0 \\
& -a+3c=0 \\
& \dfrac{1}{a}+\dfrac{-2}{b}+\dfrac{3}{c}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-2b \\
& a=3c \\
& \dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{a}+\dfrac{9}{a}=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=13 \\
& b=-\dfrac{13}{2} \\
& c=\dfrac{13}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Do đó $\left( P \right):x-2y+3z-13=0.$
Cách 2: Dễ thấy $OH\bot \left( P \right)$ nên $\left( P \right)$ qua H và nhận $\overrightarrow{OH}$ làm vectơ pháp tuyến
Do đó $\left( P \right):x-2y+3z-13=0.$