Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z+5=0.$ Giả sử $M\in \left( P \right),N\in \left( S \right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}\left( 1;0;1 \right)$ và khoảng cách giữa $M$ và $N$ là lớn nhất. Độ dài $MN$ là
A. $MN=3.$
B. $MN=1+2\sqrt{2}.$
C. $MN=3\sqrt{2}$
D. $MN=14.$
A. $MN=3.$
B. $MN=1+2\sqrt{2}.$
C. $MN=3\sqrt{2}$
D. $MN=14.$
$\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;2;1 \right),R=1.$ Gọi $\overrightarrow{v}=\left( t;0;t \right)$ là vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}=\left( 1;0;1 \right)$ sao cho phép tịnh tiến vectơ đó biến $\left( S \right)$ thành $\left( {{S}'} \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right).$ Phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left( t;0;t \right)$ biến $I$ thành ${I}'\left( -1+t;2;1+t \right)$ suy ra $\left( {{S}'} \right)$ có tâm ${I}'$ và ${R}'=R=1.$
$\left( {{S}'} \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$
$\Leftrightarrow d\left( 1,\left( P \right) \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| -1+t-2.2+2\left( 1+t \right)-3 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=1\Leftrightarrow \left| 3t-6 \right|=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=3 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$
Với $t=3\Rightarrow \overrightarrow{v}=\left( 3;0;3 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{v} \right|=3\sqrt{2},$ với $t=1\Rightarrow \overrightarrow{v}=\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow \left| \overline{v} \right|=\sqrt{2}.$ Vậy giá trị lớn nhất của MN là $3\sqrt{2}.$
4081145317504000020000
$\left( {{S}'} \right)$ tiếp xúc với $\left( P \right)$
$\Leftrightarrow d\left( 1,\left( P \right) \right)=1\Leftrightarrow \dfrac{\left| -1+t-2.2+2\left( 1+t \right)-3 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=1\Leftrightarrow \left| 3t-6 \right|=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=3 \\
& t=1 \\
\end{aligned} \right.$
Với $t=3\Rightarrow \overrightarrow{v}=\left( 3;0;3 \right)\Rightarrow \left| \overrightarrow{v} \right|=3\sqrt{2},$ với $t=1\Rightarrow \overrightarrow{v}=\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow \left| \overline{v} \right|=\sqrt{2}.$ Vậy giá trị lớn nhất của MN là $3\sqrt{2}.$
4081145317504000020000
Đáp án C.