Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-2z-6=0$ và mặt phẳng $\left( {{P}'} \right):-x-y+2z+2=0.$ Xác định tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với (P) và tiếp xúc với (P').
A. Tập hợp là hai mặt phẳng có phương trình $x+y-2z\pm 8=0.$
B. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình $x+y-2z+8=0.$
C. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình $x+y-2z-8=0.$
D. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình $z+y-2z-4=0.$
A. Tập hợp là hai mặt phẳng có phương trình $x+y-2z\pm 8=0.$
B. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình $x+y-2z+8=0.$
C. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình $x+y-2z-8=0.$
D. Tập hợp là mặt phẳng có phương trình $z+y-2z-4=0.$
Cách 1: Ta thấy $\left( P \right)//\left( {{P}'} \right).$
Chọn $M\left( 0;0;-3 \right)\in \left( P \right),N\left( 0;0;-1 \right)\in \left( {{P}'} \right).$
Tâm mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên nằm trên mặt phẳng (Q) song song và cách đều (P) và (P'). Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng $x+y-2z+d=0.$
Ta có $d\left( M;\left( Q \right) \right)=d\left( N;\left( Q \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| 6+d \right|}{\sqrt{6}}=\dfrac{\left| 2+d \right|}{\sqrt{6}}\Leftrightarrow d=-4.$
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là $x+y-2z-4=0.$
Cách 2: Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu tiếp xúc với (P) và (P'). Để ý $\left( P \right)//\left( {{P}'} \right)$ nên I thuộc phần không gian giới hạn bởi 2 mặt phẳng (P) và (P'), đồng thời I cách đều (P) và (P').
Khi đó ta có $d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( {{P}'} \right) \right)\Leftrightarrow \left| x+y-2z-6 \right|=\left| -x-y+2z+2 \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+y-2z-6=-x-y+2z+2 \\
& x+y-2z-6=x+y-2z-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2x+2y-4z-8=0\Leftrightarrow x+y-2z-4=0$
Chọn $M\left( 0;0;-3 \right)\in \left( P \right),N\left( 0;0;-1 \right)\in \left( {{P}'} \right).$
Tâm mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng trên nằm trên mặt phẳng (Q) song song và cách đều (P) và (P'). Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng $x+y-2z+d=0.$
Ta có $d\left( M;\left( Q \right) \right)=d\left( N;\left( Q \right) \right)\Leftrightarrow \dfrac{\left| 6+d \right|}{\sqrt{6}}=\dfrac{\left| 2+d \right|}{\sqrt{6}}\Leftrightarrow d=-4.$
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là $x+y-2z-4=0.$
Cách 2: Gọi $I\left( x;y;z \right)$ là tâm mặt cầu tiếp xúc với (P) và (P'). Để ý $\left( P \right)//\left( {{P}'} \right)$ nên I thuộc phần không gian giới hạn bởi 2 mặt phẳng (P) và (P'), đồng thời I cách đều (P) và (P').
Khi đó ta có $d\left( I;\left( P \right) \right)=d\left( I;\left( {{P}'} \right) \right)\Leftrightarrow \left| x+y-2z-6 \right|=\left| -x-y+2z+2 \right|$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x+y-2z-6=-x-y+2z+2 \\
& x+y-2z-6=x+y-2z-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow 2x+2y-4z-8=0\Leftrightarrow x+y-2z-4=0$
Đáp án D.