Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng $\left( P \right):x+2y+z-4=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+2}{3}.$ Đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là
A. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}.$
B. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{3}.$
C. $\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{3}.$
D. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}.$
A. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{2}.$
B. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z-1}{3}.$
C. $\dfrac{x+1}{5}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z-1}{3}.$
D. $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}.$
Gọi A là giao điểm của d và . Ta có $A\in d\Rightarrow A\left( 2t-1;t;3t-2 \right)$
Do $\Delta \subset \left( P \right),$ mà $A\in \Delta $ nên $A\in \left( P \right)\Rightarrow \left( 2t-1 \right)+2.t+\left( 3t-2 \right)-4=0\Leftrightarrow t=1.$
Vậy $A\left( 1;1;1 \right).$
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;2;1 \right)$ ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;3 \right).$ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \bot d \\
& \Delta \subset \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{n} \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{n};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 5;-1;-3 \right).$
Đường thẳng đi qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 5;-1;-3 \right)$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy có phương trình $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}.$
Do $\Delta \subset \left( P \right),$ mà $A\in \Delta $ nên $A\in \left( P \right)\Rightarrow \left( 2t-1 \right)+2.t+\left( 3t-2 \right)-4=0\Leftrightarrow t=1.$
Vậy $A\left( 1;1;1 \right).$
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left( 1;2;1 \right)$ ; đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;3 \right).$ Ta có $\left\{ \begin{aligned}
& \Delta \bot d \\
& \Delta \subset \left( P \right) \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}} \\
& \overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}\bot \overrightarrow{n} \\
\end{aligned} \right..$
Suy ra có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left[ \overrightarrow{n};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=\left( 5;-1;-3 \right).$
Đường thẳng đi qua $A\left( 1;1;1 \right)$ và nhận $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 5;-1;-3 \right)$ làm vectơ chỉ phương.
Vậy có phương trình $\dfrac{x-1}{5}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-1}{-3}.$
Đáp án D.