Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-3=0$ và các điểm $A\left( 3;2;4 \right),B\left( 5;3;7 \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ thay đổi đi qua $A,B$ và cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$ có bán kính $r=2\sqrt{2}$. Biết tâm của đường tròn $\left( C \right)$ luôn nằm trên một đường tròn cố định $\left( {{C}_{1}} \right)$. Bán kính của $\left( {{C}_{1}} \right)$ là
A. ${{r}_{1}}=\sqrt{14}$.
B. ${{r}_{1}}=12$.
C. ${{r}_{1}}=2\sqrt{14}$.
D. ${{r}_{1}}=6$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;3 \right)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2t \\
& y=2+t \\
& z=4+3t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Gọi $M=AB\cap \left( P \right)$ thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=3+2t \\
& {{y}_{M}}=2+t \\
& {{z}_{M}}=4+3t \\
& {{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( 3+2t \right)+\left( 2+t \right)+\left( 4+3t \right)-3=0\Leftrightarrow 6t+6=0\Leftrightarrow t=-1\to M\left( 1;1;1 \right)$
Có $MA=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{14}$
Và $MB=\sqrt{{{\left( 5-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 7-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{14}$
Gọi ${{I}_{1}}$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$ và $M{{I}_{1}}$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại 2 điểm $C$ và $D$.
Ta có $MC.MD=MA.MB=\sqrt{14}.2\sqrt{14}=28$
$\Leftrightarrow \left( M{{I}_{1}}+r \right)\left( M{{I}_{1}}-r \right)=28$
$\Leftrightarrow MI_{1}^{2}-{{r}^{2}}=28\Leftrightarrow M{{I}_{1}}=\sqrt{28+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}=6$.
Do $M\left( 1;1;1 \right)$ nên điểm $M$ cố định. Khi đó tâm ${{I}_{1}}$ của đường tròn $\left( C \right)$ luôn nằm trên đường tròn cố định có tâm $M$ bán kính ${{r}_{1}}=M{{I}_{1}}=6$.
A. ${{r}_{1}}=\sqrt{14}$.
B. ${{r}_{1}}=12$.
C. ${{r}_{1}}=2\sqrt{14}$.
D. ${{r}_{1}}=6$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=\left( 2;1;3 \right)$ nên phương trình đường thẳng $AB$ là $\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2t \\
& y=2+t \\
& z=4+3t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)$
Gọi $M=AB\cap \left( P \right)$ thì tọa độ điểm $M$ thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=3+2t \\
& {{y}_{M}}=2+t \\
& {{z}_{M}}=4+3t \\
& {{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}-3=0 \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow \left( 3+2t \right)+\left( 2+t \right)+\left( 4+3t \right)-3=0\Leftrightarrow 6t+6=0\Leftrightarrow t=-1\to M\left( 1;1;1 \right)$
Có $MA=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}+{{\left( 4-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{14}$
Và $MB=\sqrt{{{\left( 5-1 \right)}^{2}}+{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 7-1 \right)}^{2}}}=2\sqrt{14}$
Gọi ${{I}_{1}}$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$ và $M{{I}_{1}}$ cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại 2 điểm $C$ và $D$.
Ta có $MC.MD=MA.MB=\sqrt{14}.2\sqrt{14}=28$
$\Leftrightarrow \left( M{{I}_{1}}+r \right)\left( M{{I}_{1}}-r \right)=28$
$\Leftrightarrow MI_{1}^{2}-{{r}^{2}}=28\Leftrightarrow M{{I}_{1}}=\sqrt{28+{{\left( 2\sqrt{2} \right)}^{2}}}=6$.
Do $M\left( 1;1;1 \right)$ nên điểm $M$ cố định. Khi đó tâm ${{I}_{1}}$ của đường tròn $\left( C \right)$ luôn nằm trên đường tròn cố định có tâm $M$ bán kính ${{r}_{1}}=M{{I}_{1}}=6$.
Đáp án D.