Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2y-z+3=0$ và điểm $A\left( 2;0;0 \right).$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua A, vuông góc với (P), cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 4/3 và cắt các tia Oy, Oz lần lượt tại các điểm B, C khác O. Thể tích khối tứ diện OABC bằng:
A. 8.
B. 16.
C. $\dfrac{8}{3}.$
D. $\dfrac{16}{3}.$
A. 8.
B. 16.
C. $\dfrac{8}{3}.$
D. $\dfrac{16}{3}.$
HD: Gọi $B\left( 0;b;0 \right),C\left( 0;0;c \right)$
Phương trình $mp\left( \alpha \right)$ là $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\Rightarrow bc.x+2c.y+2b.z-2bc=0$
Khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( \alpha \right) \right)}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{9}{16}.$
Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và (P) vuông góc với nhau $\Rightarrow 2.2c-1.2b=0\Leftrightarrow b=2c>0.$
Mà $a=2$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& b=2c>0 \\
& \dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{9}{16} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=2c>0 \\
& \dfrac{1}{4{{c}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{5}{16} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=2 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy ${{V}_{OABC}}=\dfrac{abc}{6}=\dfrac{8}{3}.$
Phương trình $mp\left( \alpha \right)$ là $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1\Rightarrow bc.x+2c.y+2b.z-2bc=0$
Khoảng cách từ O đến mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\dfrac{1}{{{d}^{2}}\left( O;\left( \alpha \right) \right)}=\dfrac{1}{O{{A}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{B}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{C}^{2}}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{9}{16}.$
Hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và (P) vuông góc với nhau $\Rightarrow 2.2c-1.2b=0\Leftrightarrow b=2c>0.$
Mà $a=2$ nên ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& b=2c>0 \\
& \dfrac{1}{{{2}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{9}{16} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& b=2c>0 \\
& \dfrac{1}{4{{c}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{5}{16} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& c=2 \\
& b=4 \\
\end{aligned} \right..$
Vậy ${{V}_{OABC}}=\dfrac{abc}{6}=\dfrac{8}{3}.$
Đáp án C.