Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-10x+6y-10z+39=0.$ Từ một điểm M thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tại điểm N. Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng $MN=4.$
A. 5
B. 3
C. $\sqrt{6}$
D. $\sqrt{11}$
A. 5
B. 3
C. $\sqrt{6}$
D. $\sqrt{11}$
Xét mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=20\Rightarrow I\left( 5;-3;5 \right),R=2\sqrt{5}.$
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng $\left( P \right):d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 5-2.\left( -3 \right)+2.5-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6$
Khi đó $M{{N}^{2}}+I{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}+{{R}^{2}}={{4}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}=36={{d}^{2}}\Rightarrow IM\bot (P)$
Suy ra phương trình của IM: $\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z-5}{2};M\in IM\Rightarrow M\left( t+5;-3-2t;2t+5 \right)$
Mà $M\in \left( P \right)\Rightarrow t+5-2\left( -2t-3 \right)+2\left( 2t+5 \right)-3=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow M\left( 3;1;1 \right)\Rightarrow OM=\sqrt{11}$
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng $\left( P \right):d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{\left| 5-2.\left( -3 \right)+2.5-3 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6$
Khi đó $M{{N}^{2}}+I{{N}^{2}}=M{{N}^{2}}+{{R}^{2}}={{4}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}=36={{d}^{2}}\Rightarrow IM\bot (P)$
Suy ra phương trình của IM: $\dfrac{x-5}{1}=\dfrac{y+3}{-2}=\dfrac{z-5}{2};M\in IM\Rightarrow M\left( t+5;-3-2t;2t+5 \right)$
Mà $M\in \left( P \right)\Rightarrow t+5-2\left( -2t-3 \right)+2\left( 2t+5 \right)-3=0\Rightarrow t=-2\Rightarrow M\left( 3;1;1 \right)\Rightarrow OM=\sqrt{11}$
Đáp án D.