Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z - 3 = 0

và mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 10 x + 6 y - 10 z + 39 = 0.

Từ một điểm M thuộc mặt phẳng

(P)

kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu

(S)

tại điểm N. Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng

M N = 4.

A. 5
B. 3
C.

\sqrt{6}

D.

\sqrt{11}

Xét mặt cầu

(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 20 \Rightarrow I (5; - 3; 5), R = 2 \sqrt{5} .

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng

(P) : d (I; (P)) = \frac{| 5 - 2. (- 3) + 2.5 - 3 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}}} = 6

Khi đó

M N^{2} + I N^{2} = M N^{2} + R^{2} = 4^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2} = 36 = d^{2} \Rightarrow I M ⊥ (P)

Suy ra phương trình của IM:

\frac{x - 5}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z - 5}{2}; M \in I M \Rightarrow M (t + 5; - 3 - 2 t; 2 t + 5)

Mà

M \in (P) \Rightarrow t + 5 - 2 (- 2 t - 3) + 2 (2 t + 5) - 3 = 0 \Rightarrow t = - 2 \Rightarrow M (3; 1; 1) \Rightarrow O M = \sqrt{11}

Đáp án D.