Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z-4=0$ và hai điểm $A\left( -2;2;4 \right),B\left( 2;6;6 \right).$ Gọi M là điểm di động trên (P) sao cho tam giác MAB vuông tại M. Gọi a,b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài OM. Giá trị của biểu thức ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ bằng
A. $4\sqrt{61}.$
B. 104.
C. 122.
D. $4\sqrt{52}.$
A. $4\sqrt{61}.$
B. 104.
C. 122.
D. $4\sqrt{52}.$
Có $\left\{ \begin{matrix}
\widehat{AMB}={{90}^{0}} \\
M\in (P) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\in (C)=(P)\cap (S) $ với $ (S):{{x}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=9 $ là mặt cầu đường kính AB có tâm $ I\left( 0;4;5 \right).$
Tâm của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc H của I lên mặt phẳng (P).
Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix}
x-y+z-4=0 \\
\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-4}{-1}=\dfrac{z-5}{1} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow H(1;3;6).$
Bán kính của đường tròn (C) là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}(I,(P))}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}.$
Điểm O′ là hình chiếu vuông góc của O lên (P) có toạ độ là nghiệm hệ
$\left\{ \begin{matrix}
x-y+z-4=0 \\
\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{1} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow {O}'\left( \dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3} \right).$
Khi đó theo pitago có $O{{M}^{2}}=O{{{O}'}^{2}}+{O}'{{M}^{2}}=\dfrac{16}{3}+{O}'{{M}^{2}}$
Và $H{O}'-r\le {O}'M\le H{O}'+r\Rightarrow {O}'M\in \left[ \dfrac{\sqrt{366}}{3}-\sqrt{6};\dfrac{\sqrt{366}}{3}+\sqrt{6} \right].$
Do đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\left[ \dfrac{16}{3}+{{\left( \dfrac{\sqrt{366}}{3}-\sqrt{6} \right)}^{2}} \right]+\left[ \dfrac{16}{3}+{{\left( \dfrac{\sqrt{366}}{3}+\sqrt{6} \right)}^{2}} \right]=104.$
\widehat{AMB}={{90}^{0}} \\
M\in (P) \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow M\in (C)=(P)\cap (S) $ với $ (S):{{x}^{2}}+{{(y-4)}^{2}}+{{(z-5)}^{2}}=9 $ là mặt cầu đường kính AB có tâm $ I\left( 0;4;5 \right).$
Tâm của đường tròn (C) là hình chiếu vuông góc H của I lên mặt phẳng (P).
Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{matrix}
x-y+z-4=0 \\
\dfrac{x-0}{1}=\dfrac{y-4}{-1}=\dfrac{z-5}{1} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow H(1;3;6).$
Bán kính của đường tròn (C) là $r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}(I,(P))}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}.$
Điểm O′ là hình chiếu vuông góc của O lên (P) có toạ độ là nghiệm hệ
$\left\{ \begin{matrix}
x-y+z-4=0 \\
\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z}{1} \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow {O}'\left( \dfrac{4}{3};-\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3} \right).$
Khi đó theo pitago có $O{{M}^{2}}=O{{{O}'}^{2}}+{O}'{{M}^{2}}=\dfrac{16}{3}+{O}'{{M}^{2}}$
Và $H{O}'-r\le {O}'M\le H{O}'+r\Rightarrow {O}'M\in \left[ \dfrac{\sqrt{366}}{3}-\sqrt{6};\dfrac{\sqrt{366}}{3}+\sqrt{6} \right].$
Do đó ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\left[ \dfrac{16}{3}+{{\left( \dfrac{\sqrt{366}}{3}-\sqrt{6} \right)}^{2}} \right]+\left[ \dfrac{16}{3}+{{\left( \dfrac{\sqrt{366}}{3}+\sqrt{6} \right)}^{2}} \right]=104.$
Đáp án B.