Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$,cho mặt phẳng. $\left( P \right):x+y+z-1=0$., đường thẳng $\left( d \right):\dfrac{x-15}{1}=\dfrac{y-22}{2}=\dfrac{z-37}{2}$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x-6y+4z+4=0$.Một đường thẳng $\left( \Delta \right)$ thay đổi cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tại hai điểm $A, B$ sao cho $AB=8$. Gọi ${A}'$, ${B}'$ là hai điểm lầnlượt thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $A{A}'$, $B{B}'$ cùng song song với $\left( d \right)$.Giá trị lớnnhấtcủabiểuthức $A{A}'+B{B}'$ là
A. $\dfrac{24+18\sqrt{3}}{5}$.
B. $\dfrac{12+9\sqrt{3}}{5}$.
C. $\dfrac{16+60\sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{8+30\sqrt{3}}{9}$.
Mặtcầu $\left( S \right)$ cótâm $I\left( 4;3;-2 \right)$ vàbánkính $R=5$.
Gọi $H$ làtrungđiểmcủa $AB$ thì $IH\bot AB$ và $IH=3$ nên $H$ thuộcmặtcầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I$ bánkính ${R}'=3$.
Gọi $M$ làtrungđiểmcủa ${A}'{B}'$ thì $A{A}'+B{B}'=2HM$, $M$ nằmtrênmặtphẳng $\left( P \right)$.
Mặtkháctacó $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{4}{\sqrt{3}}<R$ nên $\left( P \right)$ cắtmặtcầu $\left( S \right)$ và $\sin \left( d;\left( P \right) \right)=\sin \alpha =\dfrac{5}{3\sqrt{3}}$.Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $\left( P \right)$ thì $HK=HM.\sin \alpha $.
Vậyđể $A{A}'+B{B}'$ lớn nhất thì $HK$ lớn nhất
$\Leftrightarrow HK$ điqua $I$ nên $H{{K}_{\max }}={R}'+d\left( I;\left( P \right) \right)=3+\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.
Vậy $A{A}'+B{B}'$ lớn nhất bằng $2\left( \dfrac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right).\dfrac{3\sqrt{3}}{5}=\dfrac{24+18\sqrt{3}}{5}$.
A. $\dfrac{24+18\sqrt{3}}{5}$.
B. $\dfrac{12+9\sqrt{3}}{5}$.
C. $\dfrac{16+60\sqrt{3}}{9}$.
D. $\dfrac{8+30\sqrt{3}}{9}$.
Mặtcầu $\left( S \right)$ cótâm $I\left( 4;3;-2 \right)$ vàbánkính $R=5$.
Gọi $H$ làtrungđiểmcủa $AB$ thì $IH\bot AB$ và $IH=3$ nên $H$ thuộcmặtcầu $\left( {{S}'} \right)$ tâm $I$ bánkính ${R}'=3$.
Gọi $M$ làtrungđiểmcủa ${A}'{B}'$ thì $A{A}'+B{B}'=2HM$, $M$ nằmtrênmặtphẳng $\left( P \right)$.
Mặtkháctacó $d\left( I;\left( P \right) \right)=\dfrac{4}{\sqrt{3}}<R$ nên $\left( P \right)$ cắtmặtcầu $\left( S \right)$ và $\sin \left( d;\left( P \right) \right)=\sin \alpha =\dfrac{5}{3\sqrt{3}}$.Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên $\left( P \right)$ thì $HK=HM.\sin \alpha $.
Vậyđể $A{A}'+B{B}'$ lớn nhất thì $HK$ lớn nhất
$\Leftrightarrow HK$ điqua $I$ nên $H{{K}_{\max }}={R}'+d\left( I;\left( P \right) \right)=3+\dfrac{4}{\sqrt{3}}=\dfrac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.
Vậy $A{A}'+B{B}'$ lớn nhất bằng $2\left( \dfrac{4+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right).\dfrac{3\sqrt{3}}{5}=\dfrac{24+18\sqrt{3}}{5}$.
Đáp án A.