Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-4z=0$, đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-3}{1}$ và điểm $A\left( 1; 3; 1 \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A$, nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và cách đường thẳng $d$ một khoảng cách lớn nhất. Gọi $\overrightarrow{u}=\left( a; b; 1 \right)$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta $. Tính $a+2b$.
A. $a+2b=-3$.
B. $a+2b=0$.
C. $a+2b=4$.
D. $a+2b=7$.
Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( 1; -1; 3 \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2; -1; 1 \right)$.
Nhận xét rằng, $A\notin d$ và $d\cap \left( P \right)=I\left( -7; 3; -1 \right)$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta $. Khi đó $d\left( \Delta ,d \right)=d\left( \Delta ,\left( Q \right) \right)=d\left( A,\left( Q \right) \right)$
Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( Q \right)$ và $d$. Ta có $AH\le AK$.
Do đó, $d\left( \Delta ,d \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow $ $d\left( A,\left( Q \right) \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow A{{H}_{\max }}$ $\Leftrightarrow H\equiv K$. Suy ra $AH\equiv AK$ chính là đoạn vuông góc chung của $d$ và $\Delta .$
Mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa $A$ và $d$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]$ $=\left( -2; 4; 8 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( R \right)$ nên có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}},\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]$ $=\left( 12; 18; -6 \right)\Rightarrow \left( 2;3;-1 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ chứa trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]$ $=\left( 11; -7; 1 \right)$.
Suy ra, $a=11; b=-7$. Vậy $a+2b=-3$.
A. $a+2b=-3$.
B. $a+2b=0$.
C. $a+2b=4$.
D. $a+2b=7$.
Đường thẳng $d$ đi qua $M\left( 1; -1; 3 \right)$ và có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2; -1; 1 \right)$.
Nhận xét rằng, $A\notin d$ và $d\cap \left( P \right)=I\left( -7; 3; -1 \right)$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $\Delta $. Khi đó $d\left( \Delta ,d \right)=d\left( \Delta ,\left( Q \right) \right)=d\left( A,\left( Q \right) \right)$
Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $\left( Q \right)$ và $d$. Ta có $AH\le AK$.
Do đó, $d\left( \Delta ,d \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow $ $d\left( A,\left( Q \right) \right)$ lớn nhất $\Leftrightarrow A{{H}_{\max }}$ $\Leftrightarrow H\equiv K$. Suy ra $AH\equiv AK$ chính là đoạn vuông góc chung của $d$ và $\Delta .$
Mặt phẳng $\left( R \right)$ chứa $A$ và $d$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]$ $=\left( -2; 4; 8 \right)$.
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ chứa $d$ và vuông góc với $\left( R \right)$ nên có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}},\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]$ $=\left( 12; 18; -6 \right)\Rightarrow \left( 2;3;-1 \right)$.
Đường thẳng $\Delta $ chứa trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và song song với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]$ $=\left( 11; -7; 1 \right)$.
Suy ra, $a=11; b=-7$. Vậy $a+2b=-3$.
Đáp án A.