Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):x-2y+2z-3=0$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z+5=0$. Giả sử $M\in \left( P \right)$ và $N\in \left( S \right)$ sao cho $\overrightarrow{MN}$ cùng phương $\overrightarrow{u}\left( 1;0;1 \right)$ và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.
A. $MN=3$.
B. $MN=1+2\sqrt{2}$.
C. $MN=3\sqrt{2}$.
D. $MN=14$.
A. $MN=3$.
B. $MN=1+2\sqrt{2}$.
C. $MN=3\sqrt{2}$.
D. $MN=14$.
Ta có: $\left( P \right):x-2y+2z-3=0$ và $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=1$
Gọi $\overrightarrow{MN}=k\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow \sin \left( \widehat{MN;\left( P \right)} \right)=\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{MN}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right)=\dfrac{\left| 1+2 \right|}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{MN;\left( P \right)} \right)=45{}^\circ $
Gọi H là hình chiếu của M trên $\left( P \right)$ khi đó $MN\sin 45{}^\circ =MH$
Do đó $MN=MH\sqrt{2}$ lớn nhất $\Leftrightarrow M{{H}_{\max }}=d\left( I;\left( P \right) \right)+R=2+1=3$
Suy ra $M{{N}_{\max }}=3\sqrt{2}$.
Gọi $\overrightarrow{MN}=k\left( 1;0;1 \right)\Rightarrow \sin \left( \widehat{MN;\left( P \right)} \right)=\cos \left( \overrightarrow{{{u}_{MN}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right)=\dfrac{\left| 1+2 \right|}{\sqrt{2}.\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \left( \widehat{MN;\left( P \right)} \right)=45{}^\circ $
Gọi H là hình chiếu của M trên $\left( P \right)$ khi đó $MN\sin 45{}^\circ =MH$
Do đó $MN=MH\sqrt{2}$ lớn nhất $\Leftrightarrow M{{H}_{\max }}=d\left( I;\left( P \right) \right)+R=2+1=3$
Suy ra $M{{N}_{\max }}=3\sqrt{2}$.
Đáp án C.