Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P...

The Knowledge · 17/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z - 3 = 0

và mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 4 y - 2 z + 5 = 0

. Giả sử

M \in (P)

và

N \in (S)

sao cho

\vec{M N}

cùng phương

\vec{u} (1; 0; 1)

và khoảng cách giữa M và N lớn nhất. Tính MN.
A.

M N = 3

.
B.

M N = 1 + 2 \sqrt{2}

.
C.

M N = 3 \sqrt{2}

.
D.

M N = 14

.

Ta có:

(P) : x - 2 y + 2 z - 3 = 0

và

(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1

Gọi

\vec{M N} = k (1; 0; 1) \Rightarrow \sin (\hat{M N; (P)}) = \cos (\vec{u_{M N}}; \vec{n_{P}}) = \frac{| 1 + 2 |}{\sqrt{2} . \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow (\hat{M N; (P)}) = 45^{\circ}

Gọi H là hình chiếu của M trên

(P)

khi đó

M N \sin 45^{\circ} = M H

Do đó

M N = M H \sqrt{2}

lớn nhất

\Leftrightarrow M H_{max} = d (I; (P)) + R = 2 + 1 = 3

Suy ra

M N_{max} = 3 \sqrt{2}

.

Đáp án C.