Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P)

:

x + 2 y - 2 z + 2018 = 0

và

(Q)

:

x + m y + (m - 1) z + 2017 = 0

. Khi hai mặt phẳng

(P)

và

(Q)

tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới đây nằm trong mặt phẳng

(Q)

?
A.

H (- 2017; 1; 1)

.
B.

H (2017; - 1; 1)

.
C.

H (- 2017; 0; 0)

.
D.

H (0; - 2017; 0)

.

Ta có

\vec{n_{(P)}} = (1; 2; - 2)

;

\vec{n_{(Q)}} = (1; m; m - 1)

.
Gọi

φ

là góc tạo bởi hai mặt phẳng

(P)

và mặt phẳng

(Q)

(0^{\circ} \leq φ \leq 90^{\circ})

.
Ta có

\vec{n_{(P)}} . \vec{n_{(Q)}} = 3

;

| \vec{n_{(P)}} | = 3

;

| \vec{n_{(Q)}} | = \sqrt{2 m^{2} - 2 m + 2} \Rightarrow \cos φ = \frac{1}{\sqrt{2 m^{2} - 2 m + 2}}

Để

(P)

và

(Q)

tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì

\cos φ

lớn nhất

\Leftrightarrow \sqrt{2 m^{2} - 2 m + 2}

nhỏ nhất.
Mà

\sqrt{2 m^{2} - 2 m + 2} = \sqrt{2 {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{2}} \geq \sqrt{\frac{3}{2}}

nên giá trị lớn nhất là

\cos φ = \sqrt{\frac{2}{3}}

khi

m = \frac{1}{2}

.
Khi đó

(Q)

:

x + \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} z + 2017 = 0

.
Vậy

H (- 2017; 1; 1) \in (Q)

.

Đáp án A.