Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ : $x+2y-2z+2018=0$ và $\left( Q \right)$ : $x+my+\left( m-1 \right)z+2017=0$. Khi hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì điểm H nào dưới đây nằm trong mặt phẳng $\left( Q \right)$ ?
A. $H\left( -2017;1;1 \right)$.
B. $H\left( 2017;-1;1 \right)$.
C. $H\left( -2017;0;0 \right)$.
D. $H\left( 0;-2017;0 \right)$.
A. $H\left( -2017;1;1 \right)$.
B. $H\left( 2017;-1;1 \right)$.
C. $H\left( -2017;0;0 \right)$.
D. $H\left( 0;-2017;0 \right)$.
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1;2;-2 \right)$ ; $\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;m;m-1 \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ $\left( 0{}^\circ \le \varphi \le 90{}^\circ \right)$.
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=3$ ; $\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|=3$ ; $\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right|=\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}}$
Để $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì $\cos \varphi $ lớn nhất $\Leftrightarrow \sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}$ nhỏ nhất.
Mà $\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}=\sqrt{2{{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}}\ge \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ nên giá trị lớn nhất là $\cos \varphi =\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ khi $m=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó $\left( Q \right)$ : $x+\dfrac{1}{2}y-\dfrac{1}{2}z+2017=0$.
Vậy $H\left( -2017;1;1 \right)\in \left( Q \right)$.
Gọi $\varphi $ là góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( Q \right)$ $\left( 0{}^\circ \le \varphi \le 90{}^\circ \right)$.
Ta có $\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}.\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=3$ ; $\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}} \right|=3$ ; $\left| \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right|=\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}\Rightarrow \cos \varphi =\dfrac{1}{\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}}$
Để $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì $\cos \varphi $ lớn nhất $\Leftrightarrow \sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}$ nhỏ nhất.
Mà $\sqrt{2{{m}^{2}}-2m+2}=\sqrt{2{{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{2}}\ge \sqrt{\dfrac{3}{2}}$ nên giá trị lớn nhất là $\cos \varphi =\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ khi $m=\dfrac{1}{2}$.
Khi đó $\left( Q \right)$ : $x+\dfrac{1}{2}y-\dfrac{1}{2}z+2017=0$.
Vậy $H\left( -2017;1;1 \right)\in \left( Q \right)$.
Đáp án A.