Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):3x+4y+5z+8=0.$ Đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(...

Phương pháp:
- Xét hệ $\left\{ \begin{aligned}
& \left( \alpha \right) \\
& \left( \beta \right) \\
\end{aligned} \right. $ để tìm phương trình đường thẳng $ d.$
- Gọi $\varphi $ là góc giữa $d$ và $\left( P \right)$ thì $\sin \varphi =\cos \angle \left( \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right)=\dfrac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}.$
Cách giải:
Xét hệ $\left\{ \begin{aligned}
& x-2y+1=0 \\
& x-2z-3=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& z=t \\
& x=3+2t \\
& y=\dfrac{x+1}{2}=2+t \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Phương trình đường thẳng $d=\left( \alpha \right)\cap \left( \beta \right)$ là $d:\left\{ \begin{aligned}
& x=3+2t \\
& y=2+t \\
& z=t \\
\end{aligned} \right. $, do đó $ d $ có 1 VTCP là $ \overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;1;1 \right).$
Mặt phẳng $\left( P \right):3x+4y+5z+8=0$ có 1 VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{P}}}=\left( 3;4;5 \right).$
Khi đó ta có: $\sin \varphi =\cos \angle \left( \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{P}}} \right)=\dfrac{\overrightarrow{{{u}_{d}}}.\overrightarrow{{{n}_{P}}}}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{P}}} \right|}=\dfrac{2.3+1.4+1.5}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}+{{5}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
Vậy $\varphi ={{60}^{0}}.$