Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right):x+3y+2z-13=0$ và điểm $A\left( 1;0;-1 \right)$. Điểm M di động trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và trên tia AM lấy điểm N sao cho $AM.AN=42$. Khi M di động trên $\left( \alpha \right)$ thì N luôn thuộc một mặt cầu cố định có tâm $I\left( a;b;c \right)$. Giá trị của $a+b+c$ là
A. $a+b+c=11.$
B. $a+b+c=9.$
C. $a+b+c=7.$
D. $a+b+c=5.$
Gọi H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (), trên tia AH lấy điểm K sao cho $AH.AK=AM.AN=42\Leftrightarrow \dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AM}{AK}.$
Suy ra $\Delta AHM\sim \Delta ANK\Rightarrow \widehat{AHM}= \widehat{ANK}=90{}^\circ .$
Dễ thấy điểm H là hình chiếu của A trên mặt phẳng () nên cố định, điểm K thuộc tia AH và thỏa mãn $AH.AK=42$ nên K cũng cố định. Vậy điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định có đường kính AK, khi đó tâm I của mặt cầu là trung điểm của AK.
Mặt phẳng () có vec- tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;3;2 \right)$. Do $AH\bot \left( \alpha \right)$ nên đường thẳng AH có một vec- tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 1;3;2 \right).$
Phương trình đường thẳng AH là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=3t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Do $H=AH\cap (\alpha )$ nên tọa độ điểm H thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=1+t \\
& {{y}_{H}}=3t \\
& {{z}_{H}}=-1+2t \\
& {{x}_{H}}+3{{y}_{H}}+2{{z}_{H}}-13=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( 1+t \right)+3.3t+2\left( -1+2t \right)-13=0\Leftrightarrow 14t-14=0\Leftrightarrow t=1$
$\to H\left( 2;3;1 \right)\to AH=\sqrt{14}.$
Từ $AH.AK=42\Leftrightarrow AK=\dfrac{42}{AH}=\dfrac{42}{\sqrt{14}}=3\sqrt{14}\Rightarrow AK=3AH\Rightarrow \overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AH}.$
Ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{K}}-1=3\left( 2-1 \right) \\
& {{y}_{K}}-0=3\left( 3-0 \right)\Rightarrow K\left( 4;9;5 \right) \\
& {{z}_{K}}+1=3\left( 1+1 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Điểm I là trung điểm của AK nên $I\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{9}{2};2 \right).$
Vậy $a=\dfrac{5}{2}, b=\dfrac{9}{2}, c=2$ nên $a+b+c=9.$
A. $a+b+c=11.$
B. $a+b+c=9.$
C. $a+b+c=7.$
D. $a+b+c=5.$
Gọi H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (), trên tia AH lấy điểm K sao cho $AH.AK=AM.AN=42\Leftrightarrow \dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AM}{AK}.$
Suy ra $\Delta AHM\sim \Delta ANK\Rightarrow \widehat{AHM}= \widehat{ANK}=90{}^\circ .$
Dễ thấy điểm H là hình chiếu của A trên mặt phẳng () nên cố định, điểm K thuộc tia AH và thỏa mãn $AH.AK=42$ nên K cũng cố định. Vậy điểm N luôn thuộc một mặt cầu cố định có đường kính AK, khi đó tâm I của mặt cầu là trung điểm của AK.
Mặt phẳng () có vec- tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left( 1;3;2 \right)$. Do $AH\bot \left( \alpha \right)$ nên đường thẳng AH có một vec- tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left( 1;3;2 \right).$
Phương trình đường thẳng AH là $\left\{ \begin{aligned}
& x=1+t \\
& y=3t \\
& z=-1+2t \\
\end{aligned} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right).$
Do $H=AH\cap (\alpha )$ nên tọa độ điểm H thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{H}}=1+t \\
& {{y}_{H}}=3t \\
& {{z}_{H}}=-1+2t \\
& {{x}_{H}}+3{{y}_{H}}+2{{z}_{H}}-13=0 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left( 1+t \right)+3.3t+2\left( -1+2t \right)-13=0\Leftrightarrow 14t-14=0\Leftrightarrow t=1$
$\to H\left( 2;3;1 \right)\to AH=\sqrt{14}.$
Từ $AH.AK=42\Leftrightarrow AK=\dfrac{42}{AH}=\dfrac{42}{\sqrt{14}}=3\sqrt{14}\Rightarrow AK=3AH\Rightarrow \overrightarrow{AK}=3\overrightarrow{AH}.$
Ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{K}}-1=3\left( 2-1 \right) \\
& {{y}_{K}}-0=3\left( 3-0 \right)\Rightarrow K\left( 4;9;5 \right) \\
& {{z}_{K}}+1=3\left( 1+1 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Điểm I là trung điểm của AK nên $I\left( \dfrac{5}{2};\dfrac{9}{2};2 \right).$
Vậy $a=\dfrac{5}{2}, b=\dfrac{9}{2}, c=2$ nên $a+b+c=9.$
Đáp án B.