Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $M\left( 4;-3;12 \right)$ và chắn tia Oz một đoạn dài gấp đôi các đoạn chắn trên các tia Ox, Oy có phương trình $ax+by+cz+d=0$ ; $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0 \right)$. Tính $S=\dfrac{a+b+c}{d}$.
A. $S=\dfrac{2}{7}$
B. $S=\dfrac{5}{14}$
C. $S=-\dfrac{5}{14}$
D. $S=-\dfrac{2}{7}$
A. $S=\dfrac{2}{7}$
B. $S=\dfrac{5}{14}$
C. $S=-\dfrac{5}{14}$
D. $S=-\dfrac{2}{7}$
Gọi $A=\left( \alpha \right)\cap Ox, B=\left( \alpha \right)\cap Oy, C=\left( \alpha \right)\cap Oz$.
Giả sử $A\left( m;0;0 \right), B\left( 0;n;0 \right), C\left( 0;0;p \right), \left( m,n,p>0 \right)$.
Ta có $OA=m,OB=n,OC=p$. Từ giả thiết ta có $OC=2OA=2OB\Rightarrow p=2m=2n$
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ theo đoạn chắn là $\left( \alpha \right):\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{m}+\dfrac{z}{2m}=1$.
Do $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( 4;-3;12 \right)$ nên $\dfrac{4}{m}+\dfrac{-3}{m}+\dfrac{12}{2m}=1\Leftrightarrow m=7$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{7}+\dfrac{z}{14}=1\Leftrightarrow 2x+2y+z-14=0$.
Vậy $a=b=2,c=1,d=-14\Rightarrow S=\dfrac{2+2+1}{-14}=-\dfrac{5}{14}$.
Giả sử $A\left( m;0;0 \right), B\left( 0;n;0 \right), C\left( 0;0;p \right), \left( m,n,p>0 \right)$.
Ta có $OA=m,OB=n,OC=p$. Từ giả thiết ta có $OC=2OA=2OB\Rightarrow p=2m=2n$
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ theo đoạn chắn là $\left( \alpha \right):\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{m}+\dfrac{z}{2m}=1$.
Do $\left( \alpha \right)$ đi qua $M\left( 4;-3;12 \right)$ nên $\dfrac{4}{m}+\dfrac{-3}{m}+\dfrac{12}{2m}=1\Leftrightarrow m=7$.
Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\dfrac{x}{7}+\dfrac{y}{7}+\dfrac{z}{14}=1\Leftrightarrow 2x+2y+z-14=0$.
Vậy $a=b=2,c=1,d=-14\Rightarrow S=\dfrac{2+2+1}{-14}=-\dfrac{5}{14}$.
Đáp án C.