Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Điểm $M\left( a;b;c \right)$ $\left( a>0 \right)$ nằm trên đường thẳng $d$ sao cho từ $M$ kẻ được ba tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $\left( S \right)$ ( $A,B,C$ là các tiếp điểm) và $\widehat{AMB}=60{}^\circ ,$ $\widehat{BMC}=90{}^\circ ,$ $\widehat{CMA}=120{}^\circ $. Tính ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$.
A. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{173}{9}$.
B. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{112}{9}$.
C. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-8$.
D. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{23}{9}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$, bán kính $R=3\sqrt{3}$.
Điểm $M\left( a;b;c \right)$ $\left( a>0 \right)$ nằm trên đường thẳng $d$ $\Rightarrow M\left( -1+t;-2+t;1+t \right) \left( t>1 \right)$.
$\overrightarrow{IM}=\left( t-2;t-4;t+4 \right)$.
Ta có $MA=MB=MC=m>0$.
$AB=m\sqrt{2}; BC=m; AC=m\sqrt{3}$ $\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$.
Gọi $J$ là trung điểm $AC\Rightarrow JA=JB=JC$
Do $IA=IB=IC$ nên $MI\bot \left( ABC \right)$ tại $J$.
Tam giác $MIC$ vuông tại C; $\widehat{JMC}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{MIC}=30{}^\circ $.
Khi đó $MI=\dfrac{IC}{\cos 30{}^\circ }=6$ $\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right. $. (so điều kiện loại $ t=0$)
Với $t=\dfrac{4}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)$
Vậy ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{112}{9}$.
A. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{173}{9}$.
B. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{112}{9}$.
C. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=-8$.
D. ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{23}{9}$.
Điểm $M\left( a;b;c \right)$ $\left( a>0 \right)$ nằm trên đường thẳng $d$ $\Rightarrow M\left( -1+t;-2+t;1+t \right) \left( t>1 \right)$.
$\overrightarrow{IM}=\left( t-2;t-4;t+4 \right)$.
Ta có $MA=MB=MC=m>0$.
$AB=m\sqrt{2}; BC=m; AC=m\sqrt{3}$ $\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$.
Gọi $J$ là trung điểm $AC\Rightarrow JA=JB=JC$
Do $IA=IB=IC$ nên $MI\bot \left( ABC \right)$ tại $J$.
Tam giác $MIC$ vuông tại C; $\widehat{JMC}=60{}^\circ \Rightarrow \widehat{MIC}=30{}^\circ $.
Khi đó $MI=\dfrac{IC}{\cos 30{}^\circ }=6$ $\Rightarrow 3{{t}^{2}}-4t=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=0 \\
& t=\dfrac{4}{3} \\
\end{aligned} \right. $. (so điều kiện loại $ t=0$)
Với $t=\dfrac{4}{3}\Rightarrow M\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3} \right)$
Vậy ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\dfrac{112}{9}$.
Đáp án B.