Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu và điểm...

Nhận xét:

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua $A$ đôi một vuông góc với nhau là $(P),(Q),(R)$.
Với điểm $I$ bất kỳ, hạ $I{I}_1,I{I}_2,I{I}_3$ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ thì ta luôn có: $I{A}^2=I{I}_1^2+I{I}_{{}_2}^2+I{I}_{{}_3}^2(1)$.
Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O\equiv A$, ba trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$.
Khi đó tọa độ $I(a;b;c)$ thì:
$I{A}^2=a^2+b^2+c^2=d^2(A;(\text{Iy}z))+d^2(A;(\text{Ix}z))+d^2(A;(\text{Ixy}))$
hay $I{A}^2=I{I}_1^2+I{I}_{{}_2}^2+I{I}_{{}_3}^2(1)$.
Vậy $(1)$ được chứng minh.
Áp dụng giải bài :
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;2)$ và có bán kính $r=4$.
$\overrightarrow{IA}=(0;3;1)\Rightarrow IA=\sqrt{10}$.

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua $A$ đôi một vuông góc với nhau là $(P),(Q),(R)$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo ba đường tròn lần lượt là $(C_1),(C_2),(C_3)$.
Gọi $I_1,I_2,I_3$ và $r_1,r_2,r_3$ lần lượt là tâm và bán kính của $(C_1),(C_2),(C_3)$.
Khi đó : $I{I}_1\mathrm{\perp }(P)\Rightarrow I{I}_1^2+r_1^2=r^2\Rightarrow r_1^2=r^2-I{I}_1^2$.
Tương tự có: $r_2^2=r^2-I{I}_2^2;r_3^2=r^2-I{I}_3^2$.
Theo nhận xét ở trên ta có: $I{A}^2=I{I}_1^2+I{I}_{{}_2}^2+I{I}_{{}_3}^2$
Ta có tổng diện tích các đường tròn là : $\begin{array}{rl}& S=\pi (r_1^2+r_2^2+r_3^2)=\pi (r^2-I{I}_1^2+r^2-I{I}_2^2+r^2-I{I}_3^2)\\ & =\pi [3r^2-(I{I}_1^2+I{I}_1^2+I{I}_1^2)]=\pi (3r^2-I{A}^2)=38\pi \end{array}$.