Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu và điểm...

Nhận xét:

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua $A$ đôi một vuông góc với nhau là $(P),(Q),(R)$.
Với điểm $I$ bất kỳ, hạ $I{{I}_{1}},I{{I}_{2}},I{{I}_{3}}$ lần lượt vuông góc với ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ thì ta luôn có: $I{{A}^{2}}=II_{1}^{2}+II_{_{2}}^{2}+II_{_{3}}^{2}(1)$.
Thật vậy , ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O\equiv A$, ba trục $Ox,Oy,Oz$ lần lượt là ba giao tuyến của ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$.
Khi đó tọa độ $I(a;b;c)$ thì:
$I{{A}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{d}^{2}}(A;(\text{Iy}z))+{{d}^{2}}(A;(\text{Ix}z))+{{d}^{2}}(A;(\text{Ixy}))$
hay $I{{A}^{2}}=II_{1}^{2}+II_{_{2}}^{2}+II_{_{3}}^{2}(1)$.
Vậy $(1)$ được chứng minh.
Áp dụng giải bài :
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;2)$ và có bán kính $r=4$.
$\overrightarrow{IA}=(0;3;1)\Rightarrow IA=\sqrt{10}$.

Giả sử ba mặt mặt phẳng cùng đi qua $A$ đôi một vuông góc với nhau là $(P),(Q),(R)$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo ba đường tròn lần lượt là $({{C}_{1}}),({{C}_{2}}),({{C}_{3}})$.
Gọi ${{I}_{1}},{{I}_{2}},{{I}_{3}}$ và ${{r}_{1}},{{r}_{2}},{{r}_{3}}$ lần lượt là tâm và bán kính của $({{C}_{1}}),({{C}_{2}}),({{C}_{3}})$.
Khi đó : $I{{I}_{1}}\bot (P)\Rightarrow II_{1}^{2}+r_{1}^{2}={{r}^{2}}\Rightarrow r_{1}^{2}={{r}^{2}}-II_{1}^{2}$.
Tương tự có: $r_{2}^{2}={{r}^{2}}-II_{2}^{2};r_{3}^{2}={{r}^{2}}-II_{3}^{2}$.
Theo nhận xét ở trên ta có: $I{{A}^{2}}=II_{1}^{2}+II_{_{2}}^{2}+II_{_{3}}^{2}$
Ta có tổng diện tích các đường tròn là : $\begin{aligned}
& S=\pi \left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right)=\pi ({{r}^{2}}-II_{1}^{2}+{{r}^{2}}-II_{2}^{2}+{{r}^{2}}-II_{3}^{2}) \\
& =\pi \left[ 3{{r}^{2}}-(II_{1}^{2}+II_{1}^{2}+II_{1}^{2}) \right]=\pi \left( 3{{r}^{2}}-I{{A}^{2}} \right)=38\pi \\
\end{aligned}$.