Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ${{x}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=5$. Tìm tọa độ điểm $A\in Oy$, biết rằng ba mặt phẳng phân biệt đi qua A đôi một vuông góc với nhau và cắt mặt cầu (S) theo thiết diện là ba đường tròn có tổng diện tích bằng 11π.
A. $\left[ \begin{aligned}
& A\left( 0;2;0 \right) \\
& A\left( 0;-6;0 \right) \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left[ \begin{aligned}
& A\left( 0;2;0 \right) \\
& A\left( 0;8;0 \right) \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left[ \begin{aligned}
& A\left( 0;0;0 \right) \\
& A\left( 0;-6;0 \right) \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left[ \begin{aligned}
A. $\left[ \begin{aligned}
& A\left( 0;2;0 \right) \\
& A\left( 0;-6;0 \right) \\
\end{aligned} \right. $.
B. $ \left[ \begin{aligned}
& A\left( 0;2;0 \right) \\
& A\left( 0;8;0 \right) \\
\end{aligned} \right. $.
C. $ \left[ \begin{aligned}
& A\left( 0;0;0 \right) \\
& A\left( 0;-6;0 \right) \\
\end{aligned} \right. $.
D. $ \left[ \begin{aligned}
Gọi $A(0;m;0)$ thuộc Oy
Thực hiện phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{OA}$ biến đổi hệ tọa độ Oxyz thành AXYZ.
Công thức đổi trục $\left\{ \begin{aligned}
& x=X \\
& y=Y+m \\
& z=Z \\
\end{aligned} \right.$
Xét bài toán trong hệ tọa độ AXYZ
Phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{X}^{2}}+{{\left( Y+m-4 \right)}^{2}}+{{Z}^{2}}=5$ có tâm $I\left( 0;m-4;0 \right)$ và $R=\sqrt{5}$
Ba mặt phẳng vuông góc nhau từng đôi một và đi qua A là ba mặt phẳng tọa độ: AXY, AYZ, AZX.
$\begin{aligned}
& d\left( I,\left( AXY \right) \right)={{d}_{1}}=0\Rightarrow {{r}_{1}}=\sqrt{5} \\
& d\left( I,\left( AYZ \right) \right)={{d}_{2}}=\left| m-4 \right|\Rightarrow {{r}_{2}}=\sqrt{5-{{(m-4)}^{2}}} \\
& d\left( I,\left( AZX \right) \right)=0\Rightarrow {{r}_{3}}=\sqrt{5} \\
\end{aligned}$
Mặt khác theo đề $\left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right)\pi =11\pi \Rightarrow r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}=11\Leftrightarrow 15-{{(m-4)}^{2}}=11\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=6 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\left[ \begin{aligned}
& A(0;2;0) \\
& A(0;6;0) \\
\end{aligned} \right.$ cần tìm.
Thực hiện phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{OA}$ biến đổi hệ tọa độ Oxyz thành AXYZ.
Công thức đổi trục $\left\{ \begin{aligned}
& x=X \\
& y=Y+m \\
& z=Z \\
\end{aligned} \right.$
Xét bài toán trong hệ tọa độ AXYZ
Phương trình mặt cầu $\left( S \right):{{X}^{2}}+{{\left( Y+m-4 \right)}^{2}}+{{Z}^{2}}=5$ có tâm $I\left( 0;m-4;0 \right)$ và $R=\sqrt{5}$
Ba mặt phẳng vuông góc nhau từng đôi một và đi qua A là ba mặt phẳng tọa độ: AXY, AYZ, AZX.
$\begin{aligned}
& d\left( I,\left( AXY \right) \right)={{d}_{1}}=0\Rightarrow {{r}_{1}}=\sqrt{5} \\
& d\left( I,\left( AYZ \right) \right)={{d}_{2}}=\left| m-4 \right|\Rightarrow {{r}_{2}}=\sqrt{5-{{(m-4)}^{2}}} \\
& d\left( I,\left( AZX \right) \right)=0\Rightarrow {{r}_{3}}=\sqrt{5} \\
\end{aligned}$
Mặt khác theo đề $\left( r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2} \right)\pi =11\pi \Rightarrow r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}=11\Leftrightarrow 15-{{(m-4)}^{2}}=11\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=6 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right.$
Vậy $\left[ \begin{aligned}
& A(0;2;0) \\
& A(0;6;0) \\
\end{aligned} \right.$ cần tìm.
Đáp án D.