Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 8 và điểm $M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2};0 \right)$. Đường thẳng d thay đổi đi qua M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích S lớn nhất của tam giác OAB.
A. $S=2\sqrt{2}$.
B. $S=2\sqrt{7}$.
C. $S=4$.
D. $S=\sqrt{7}$.
(S): $\left\{ \begin{aligned}
& O(0;0;0) \\
& R=2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Có $OM=1<2\sqrt{2}$ nên M nằm trong (S)
Dựng $OH\bot AB(H\in AB)$, đặt OH = x. Khi đó $0\le x\le OM=1$
Khi đó diện tích tam giác OAB là:
${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}OH.AB=\dfrac{1}{2}OH.2HB=OH.\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=OH\sqrt{8-O{{H}^{2}}}=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}=f(x)$
Xét hàm số $f(x)=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}$ với $x\in \left[ 0;1 \right]$
$f'(x)=\sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=\dfrac{8-2{{x}^{2}}}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2(L) \\
& x=-2(L) \\
\end{aligned} \right.$
Có $f(0)=0$ $f(1)=\sqrt{7}$. Vậy $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max f}} (x)=\sqrt{7}\Rightarrow {{S}_{\max }}=\sqrt{7}$.
A. $S=2\sqrt{2}$.
B. $S=2\sqrt{7}$.
C. $S=4$.
D. $S=\sqrt{7}$.
(S): $\left\{ \begin{aligned}
& O(0;0;0) \\
& R=2\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right.$
Có $OM=1<2\sqrt{2}$ nên M nằm trong (S)
Dựng $OH\bot AB(H\in AB)$, đặt OH = x. Khi đó $0\le x\le OM=1$
Khi đó diện tích tam giác OAB là:
${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}OH.AB=\dfrac{1}{2}OH.2HB=OH.\sqrt{O{{B}^{2}}-O{{H}^{2}}}=OH\sqrt{8-O{{H}^{2}}}=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}=f(x)$
Xét hàm số $f(x)=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}$ với $x\in \left[ 0;1 \right]$
$f'(x)=\sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=\dfrac{8-2{{x}^{2}}}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2(L) \\
& x=-2(L) \\
\end{aligned} \right.$
Có $f(0)=0$ $f(1)=\sqrt{7}$. Vậy $\underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max f}} (x)=\sqrt{7}\Rightarrow {{S}_{\max }}=\sqrt{7}$.
Đáp án D.