Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x2 + y2 +...

The Knowledge · 7/1/22

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 8 và điểm

M (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)

. Đường thẳng d thay đổi đi qua M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích S lớn nhất của tam giác OAB.
A.

S = 2 \sqrt{2}

.
B.

S = 2 \sqrt{7}

.
C.

S = 4

.
D.

S = \sqrt{7}

.

(S):

{\begin{aligned} O (0; 0; 0) \\ R = 2 \sqrt{2} \end{aligned}

Có

O M = 1 < 2 \sqrt{2}

nên M nằm trong (S)
Dựng

O H ⊥ A B (H \in A B)

, đặt OH = x. Khi đó

0 \leq x \leq O M = 1

Khi đó diện tích tam giác OAB là:

S_{O A B} = \frac{1}{2} O H . A B = \frac{1}{2} O H .2 H B = O H . \sqrt{O B^{2} - O H^{2}} = O H \sqrt{8 - O H^{2}} = x \sqrt{8 - x^{2}} = f (x)

Xét hàm số

f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}

với

x \in [0; 1]

f^{'} (x) = \sqrt{8 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{8 - x^{2}}} = \frac{8 - 2 x^{2}}{\sqrt{8 - x^{2}}}

f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = 2 (L) \\ x = - 2 (L) \end{aligned}

Có

f (0) = 0

f (1) = \sqrt{7}

. Vậy

\underset{[0; 1]}{max f} (x) = \sqrt{7} \Rightarrow S_{max} = \sqrt{7}

.

Đáp án D.