Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu (S) có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4$ và mặt phẳng $(\alpha )$ có phương trình $z=1$. Biết rằng mặt phẳng $(\alpha )$ chia khối cầu (S) thành hai phần. Khi đó, tỉ số thể tích của phần nhỏ với phần lớn là:
A. $\dfrac{1}{6}$
B. $\dfrac{5}{27}$
C. $\dfrac{2}{11}$
D. $\dfrac{4}{25}$
A. $\dfrac{1}{6}$
B. $\dfrac{5}{27}$
C. $\dfrac{2}{11}$
D. $\dfrac{4}{25}$
Mặt cầu có bán kính $R=2$. Thể tích khối cầu bằng: $V=\dfrac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\dfrac{32}{3}\pi $.
Thể tích phần nhỏ: ${{V}_{n}}=\int\limits_{1}^{2}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\pi \left( \sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)dx}$. Với $S\left( x \right)$ là diện tích của mặt cắt là hình tròn khi cắt khối cầu bởi mặt phẳng song song với $\left( \alpha \right):z-1=0$.
${{V}_{n}}=\pi \int\limits_{1}^{2}{\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}=\pi \int\limits_{1}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{5}{3}\pi $.
Vậy thể tích khối lớn là: ${{V}_{l}}=V-{{V}_{n}}=9\pi $.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{n}}}{{{V}_{l}}}=\dfrac{5}{27}$.
Thể tích phần nhỏ: ${{V}_{n}}=\int\limits_{1}^{2}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{\pi \left( \sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}} \right)dx}$. Với $S\left( x \right)$ là diện tích của mặt cắt là hình tròn khi cắt khối cầu bởi mặt phẳng song song với $\left( \alpha \right):z-1=0$.
${{V}_{n}}=\pi \int\limits_{1}^{2}{\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}=\pi \int\limits_{1}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{5}{3}\pi $.
Vậy thể tích khối lớn là: ${{V}_{l}}=V-{{V}_{n}}=9\pi $.
$\Rightarrow \dfrac{{{V}_{n}}}{{{V}_{l}}}=\dfrac{5}{27}$.
Đáp án B.