Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( {{S}_{m}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-m \right)}^{2}}=\dfrac{{{m}^{2}}}{4}$ và hai điểm $A\left( 2;3;5 \right)$, $B\left( 1;2;4 \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $m$ để trên $\left( {{S}_{m}} \right)$ tồn tại điểm $M$ sao cho $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$.
A. $m=8-4\sqrt{3}$.
B. $m=\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}$.
C. $m=1$.
D. $m=3-\sqrt{3}$.
A. $m=8-4\sqrt{3}$.
B. $m=\dfrac{4-\sqrt{3}}{2}$.
C. $m=1$.
D. $m=3-\sqrt{3}$.
Gọi $M\left( x;y;z \right)$, suy ra
$M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}-\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \right]=9$
$\Leftrightarrow $ $x+y+z-4=0$
Suy ra: Tập các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ là mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-4=0$
Trên $\left( {{S}_{m}} \right)$ tồn tại điểm $M$ sao cho $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ khi và chỉ khi $\left( {{S}_{m}} \right)$ và $\left( P \right)$ có điểm chung $\Leftrightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)\le R$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+1+m-4 \right|}{\sqrt{1+1+1}}\le \dfrac{\left| m \right|}{2}$ $\Leftrightarrow 2\left| m-2 \right|\le \sqrt{3}\left| m \right|$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16m+16\le 0$ $\Leftrightarrow 8-4\sqrt{3}\le m\le 8+4\sqrt{3}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ là $8-4\sqrt{3}$.
$M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ $\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}-\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-4 \right)}^{2}} \right]=9$
$\Leftrightarrow $ $x+y+z-4=0$
Suy ra: Tập các điểm $M\left( x;y;z \right)$ thỏa mãn $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ là mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-4=0$
Trên $\left( {{S}_{m}} \right)$ tồn tại điểm $M$ sao cho $M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}=9$ khi và chỉ khi $\left( {{S}_{m}} \right)$ và $\left( P \right)$ có điểm chung $\Leftrightarrow d\left( I;\left( P \right) \right)\le R$ $\Leftrightarrow \dfrac{\left| 1+1+m-4 \right|}{\sqrt{1+1+1}}\le \dfrac{\left| m \right|}{2}$ $\Leftrightarrow 2\left| m-2 \right|\le \sqrt{3}\left| m \right|$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16m+16\le 0$ $\Leftrightarrow 8-4\sqrt{3}\le m\le 8+4\sqrt{3}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $m$ là $8-4\sqrt{3}$.
Đáp án A.