Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16$. Gọi $M$ là điểm thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ sao cho biểu thức $A=2{{x}_{M}}-{{y}_{M}}+2{{\text{z}}_{M}}$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức $B={{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}$ bằng.
A. $21$
B. $3$
C. $5$
D. $10$
A. $21$
B. $3$
C. $5$
D. $10$
Ta có $A=2{{x}_{M}}-{{y}_{M}}+2{{\text{z}}_{M}}=2\left( {{x}_{M}}-1 \right)-\left( {{y}_{M}}-2 \right)+2\left( {{z}_{M}}-3 \right)+6$
$\le \sqrt{\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \right)}+6=3.4+6=18$.
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{{{x}_{M}}-1}{2}=\dfrac{{{y}_{M}}-2}{-1}=\dfrac{{{z}_{M}}-3}{2}=t>0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=1+2t \\
& {{y}_{M}}=2-t \\
& {{Z}_{M}}=3+2t \\
\end{aligned} \right. $, thay vào phương trình $ \left( S \right) $ ta được: $ 4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}=16\Rightarrow t=\dfrac{4}{3} $. Do đó $ M\left( \dfrac{11}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{17}{3} \right) $ và $ B={{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}=10$.
$\le \sqrt{\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}} \right)\left( {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}} \right)}+6=3.4+6=18$.
Dấu bằng xảy ra khi $\dfrac{{{x}_{M}}-1}{2}=\dfrac{{{y}_{M}}-2}{-1}=\dfrac{{{z}_{M}}-3}{2}=t>0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{M}}=1+2t \\
& {{y}_{M}}=2-t \\
& {{Z}_{M}}=3+2t \\
\end{aligned} \right. $, thay vào phương trình $ \left( S \right) $ ta được: $ 4{{t}^{2}}+{{t}^{2}}+4{{t}^{2}}=16\Rightarrow t=\dfrac{4}{3} $. Do đó $ M\left( \dfrac{11}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{17}{3} \right) $ và $ B={{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}=10$.
Đáp án D.