Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;3 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 0;4;1 \right).$ Xét khối nón $\left( N \right)$ có đỉnh $A$ và nối tiếp trong khối cầu $\left( S \right).$ Khi diện tích xung quanh của hình nón $\left( N \right)$ lớn nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $\left( N \right)$ có phương trình dạng $-x+by+cz+d=0.$ Giá trị của $b+c+2d$ bằng:
A. 12
B. 6
C. $-12$
D. $-6$
A. 12
B. 6
C. $-12$
D. $-6$
Cách giải:
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=IA=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=3.$
Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy của hình nón $\left( N \right).$
Đặt $IO=x\left( 0<x<3 \right)$ ta có: $AO=IA+x=x+3=h$ là chiều cao của hình nón.
Khối nón có bán kính đáy $r=\sqrt{9-{{x}^{2}}}.$
$\Rightarrow $ Độ dài đường sinh của hình nón là $l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{6x+18}.$
Khi đó ta có diện tích xung quanh của hình nón là: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .\sqrt{9-{{x}^{2}}}.\sqrt{6a+18}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\left( 9-{{x}^{2}} \right)\left( 6x+18 \right)=-6{{x}^{3}}-18{{x}^{{}}}+54x+162$ với $x\in \left( 0;3 \right)$ ta có:
$f'\left( x \right)=-18{{x}^{2}}-36x+54=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-3\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.,$
Lập BBT ta thấy $\underset{\left( -3;3 \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=192.$
$\Rightarrow \max {{S}_{xq}}=8\pi \sqrt{3}$ đạt được khi $x=1.$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& AO=4 \\
& IO=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}=\dfrac{1}{3}\left( -1;2;-2 \right)=\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow O\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{11}{3} \right)$
Mặt phẳng đáy của hình nón đi qua điểm $O$ và có 1 VTPT $\overrightarrow{IA}=\left( -1;2;-2 \right)$ nên có phương trình là: $-x+2y-2z+6=0.$
$\Rightarrow b=2,c=-2,d=6\Rightarrow b+c+2d=12.$
Bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ là $R=IA=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{2}^{2}}}=3.$
Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy của hình nón $\left( N \right).$
Đặt $IO=x\left( 0<x<3 \right)$ ta có: $AO=IA+x=x+3=h$ là chiều cao của hình nón.
Khối nón có bán kính đáy $r=\sqrt{9-{{x}^{2}}}.$
$\Rightarrow $ Độ dài đường sinh của hình nón là $l=\sqrt{{{h}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{6x+18}.$
Khi đó ta có diện tích xung quanh của hình nón là: ${{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .\sqrt{9-{{x}^{2}}}.\sqrt{6a+18}.$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\left( 9-{{x}^{2}} \right)\left( 6x+18 \right)=-6{{x}^{3}}-18{{x}^{{}}}+54x+162$ với $x\in \left( 0;3 \right)$ ta có:
$f'\left( x \right)=-18{{x}^{2}}-36x+54=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-3\left( ktm \right) \\
\end{aligned} \right.,$
Lập BBT ta thấy $\underset{\left( -3;3 \right)}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=192.$
$\Rightarrow \max {{S}_{xq}}=8\pi \sqrt{3}$ đạt được khi $x=1.$
Khi đó $\left\{ \begin{aligned}
& AO=4 \\
& IO=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{IA}=\dfrac{1}{3}\left( -1;2;-2 \right)=\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{3};-\dfrac{2}{3} \right)\Rightarrow O\left( \dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{11}{3} \right)$
Mặt phẳng đáy của hình nón đi qua điểm $O$ và có 1 VTPT $\overrightarrow{IA}=\left( -1;2;-2 \right)$ nên có phương trình là: $-x+2y-2z+6=0.$
$\Rightarrow b=2,c=-2,d=6\Rightarrow b+c+2d=12.$
Đáp án A.