Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho mặt cầu $\left( S...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho mặt cầu

(S)

có phương trình là

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 2 z - 3 = 0

và điểm

A (5; 3; - 2)

. Một đường thẳng

d

thay đổi luôn đi qua

A

và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt

M, N

. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S = A M + 4 A N

.
A.

S_{min} = 30

.
B.

S_{min} = 20

.
C.

S_{min} = \sqrt{34} - 3

.
D.

S_{min} = 5 \sqrt{34} - 9

.

Mặt cầu

(S)

có tâm

I (2; - 1; 1)

, bán kính

R = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2} - (- 3)} = 3

.
Ta có

A I = \sqrt{{(2 - 5)}^{2} + {(- 1 - 3)}^{2} + {(1 + 2)}^{2}} = \sqrt{34} > R

nên

A

nằm ngoài mặt cầu

(S)

.
Ta lại có

S = A M + 4. A N

. Đặt

A M = x

với

x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]

.
Mà

A M . A N = A I^{2} - R^{2} = 34 - 9 = 25

. Suy ra

A N = \frac{25}{A M}

.
Do đó

S = f (x) = x + \frac{100}{x}

với

x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]

.

f^{'} (x) = 1 - \frac{100}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 100}{x^{2}} < 0

,

\forall x \in [\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]

.
Do đó

min_{[\sqrt{34} - 3; \sqrt{34} + 3]} f (x) = f (\sqrt{34} + 3) = 5 \sqrt{34} - 9

.
Dấu

^{″} =^{″}

xảy ra

\Leftrightarrow A, M, N, I

thẳng hàng và

A M = \sqrt{34} + 3

;

A N = \sqrt{34} - 3

.

Đáp án D.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...