Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm thuộc mặt phẳng $(P):x+2y+z-7=0$ và đi qua hai điểm $A\left( 1;2;1 \right), B\left( 2;5;3 \right)$. Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu $\left( S \right)$ bằng:
A. $\dfrac{\sqrt{470}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{546}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{763}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{345}}{3}$.
A. $\dfrac{\sqrt{470}}{3}$.
B. $\dfrac{\sqrt{546}}{3}$.
C. $\dfrac{\sqrt{763}}{3}$.
D. $\dfrac{\sqrt{345}}{3}$.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ $\Rightarrow I\in \left( Q \right)$ là mặt phẳng trung trực của $AB:\left\{ \begin{aligned}
& qua M\left( \dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2}; 2 \right) \\
& VTPT \overrightarrow{ AB}=\left( 1; 3; 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
có dạng: $x+3y+2z-16=0$.
Vậy $I\in d$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng: $\left\{ \begin{aligned}
& x+3y+2z-16=0 \\
& x+2y+z-7=0 \\
\end{aligned} \right.$
+ cho $x=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=-2 \\
& z=11 \\
\end{aligned} \right.\to C\left( 0; -2; 11 \right)\in d $ và cho $ x=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=-3 \\
& z=12 \\
\end{aligned} \right.\to D\left( 1; -3; 12 \right)\in d$.
+ Đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& qua C\left( 0; -2; 11 \right) \\
& VTCP \overrightarrow{CD}=\left( 1; -1; 1 \right) \\
\end{aligned} \right. $ có dạng: $ \left\{ \begin{aligned}
& x= t \\
& y=-2-t \\
& z=11+t \\
\end{aligned} \right.\to I\left( t; -2-t; 11+t \right)$.
+ Bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( 1-t \right)}^{2}}+\left( 4+{{t}^{2}} \right)+{{\left( 10+t \right)}^{2}}}=\sqrt{3\left( {{\left( t+\dfrac{13}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{82}{9} \right)}\ge \dfrac{\sqrt{546}}{3}$ khi $t=-\dfrac{13}{3}$.
Vậy ${{R}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{546}}{3} khi t=-\dfrac{13}{3}$.
& qua M\left( \dfrac{3}{2}; \dfrac{7}{2}; 2 \right) \\
& VTPT \overrightarrow{ AB}=\left( 1; 3; 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
có dạng: $x+3y+2z-16=0$.
Vậy $I\in d$ là giao tuyến của 2 mặt phẳng: $\left\{ \begin{aligned}
& x+3y+2z-16=0 \\
& x+2y+z-7=0 \\
\end{aligned} \right.$
+ cho $x=0\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=-2 \\
& z=11 \\
\end{aligned} \right.\to C\left( 0; -2; 11 \right)\in d $ và cho $ x=1\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& y=-3 \\
& z=12 \\
\end{aligned} \right.\to D\left( 1; -3; 12 \right)\in d$.
+ Đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}
& qua C\left( 0; -2; 11 \right) \\
& VTCP \overrightarrow{CD}=\left( 1; -1; 1 \right) \\
\end{aligned} \right. $ có dạng: $ \left\{ \begin{aligned}
& x= t \\
& y=-2-t \\
& z=11+t \\
\end{aligned} \right.\to I\left( t; -2-t; 11+t \right)$.
+ Bán kính $R=IA=\sqrt{{{\left( 1-t \right)}^{2}}+\left( 4+{{t}^{2}} \right)+{{\left( 10+t \right)}^{2}}}=\sqrt{3\left( {{\left( t+\dfrac{13}{3} \right)}^{2}}+\dfrac{82}{9} \right)}\ge \dfrac{\sqrt{546}}{3}$ khi $t=-\dfrac{13}{3}$.
Vậy ${{R}_{\min }}=\dfrac{\sqrt{546}}{3} khi t=-\dfrac{13}{3}$.
Đáp án B.