Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left( S...

The Funny · 23/5/23

Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

(S)

có tâm thuộc mặt phẳng

(P) : x + 2 y + z - 7 = 0

và đi qua hai điểm

A (1; 2; 1), B (2; 5; 3)

. Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu

(S)

bằng:
A.

\frac{\sqrt{470}}{3}

.
B.

\frac{\sqrt{546}}{3}

.
C.

\frac{\sqrt{763}}{3}

.
D.

\frac{\sqrt{345}}{3}

.

Gọi

I

là tâm mặt cầu

(S)

\Rightarrow I \in (Q)

là mặt phẳng trung trực của

A B : {\begin{aligned} q u a M (\frac{3}{2}; \frac{7}{2}; 2) \\ V T P T \vec{A B} = (1; 3; 2) \end{aligned}

có dạng:

x + 3 y + 2 z - 16 = 0

.
Vậy

I \in d

là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

{\begin{aligned} x + 3 y + 2 z - 16 = 0 \\ x + 2 y + z - 7 = 0 \end{aligned}

+ cho

x = 0 \Rightarrow {\begin{aligned} y = - 2 \\ z = 11 \end{aligned} \to C (0; - 2; 11) \in d

và cho

x = 1 \Rightarrow {\begin{aligned} y = - 3 \\ z = 12 \end{aligned} \to D (1; - 3; 12) \in d

.
+ Đường thẳng

d : {\begin{aligned} q u a C (0; - 2; 11) \\ V T C P \vec{C D} = (1; - 1; 1) \end{aligned}

có dạng:

{\begin{aligned} x = t \\ y = - 2 - t \\ z = 11 + t \end{aligned} \to I (t; - 2 - t; 11 + t)

.
+ Bán kính

R = I A = \sqrt{{(1 - t)}^{2} + (4 + t^{2}) + {(10 + t)}^{2}} = \sqrt{3 ({(t + \frac{13}{3})}^{2} + \frac{82}{9})} \geq \frac{\sqrt{546}}{3}

khi

t = - \frac{13}{3}

.
Vậy

R_{min} = \frac{\sqrt{546}}{3} k h i t = - \frac{13}{3}

.

Đáp án B.